기대 값 계산

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단계로
3 가지 방법 중 1 : 첫 번째 간단한 작업
방법 2/3 : 특정 결과에 대한 예상 값 계산
3 가지 방법 중 3 : 개념 이해
팁
필수품

기대 값은 통계 용어이며 행동이 얼마나 유용하거나 해로운지를 결정하는 데 사용되는 개념입니다. 기대 값을 계산하려면 특정 상황에서 각 결과와 관련 확률 또는 특정 결과가 발생할 확률을 잘 이해해야합니다. 아래 단계에서는 기대 값의 개념을 이해하는 데 도움이되는 몇 가지 예제 연습을 제공합니다.

단계로

3 가지 방법 중 1 : 첫 번째 간단한 작업

성명서를 읽으십시오. 가능한 모든 결과와 확률에 대해 생각하기 전에 문제를 이해하는 것이 중요합니다. 예를 들어 게임당 € 10의 비용이 드는 주사위 게임. 헥스 주사위는 한 번 굴리고 당신의 상금은 당신이 굴리는 숫자에 달려 있습니다. 6이 나오면 30 유로를 얻습니다. 5는 € 20을 얻습니다. 다른 숫자는 아무것도 산출하지 않습니다.
가능한 모든 결과를 나열하십시오. 주어진 상황에서 가능한 모든 결과를 나열하는 데 도움이됩니다. 위의 예에서 가능한 결과는 6 개입니다. (1) 1을 굴리고 $ 10을 잃고, (2) 2를 굴리고 $ 10을 잃고, (3) 3을 굴리고 $ 10을 잃고, (4) 4를 굴리고 $ 10을 잃습니다. , (5) 5를 굴리고 $ 10을 이기고, (6) 6을 굴리고 $ 20을이기십시오.
- 각 결과는 위에서 설명한 것보다 € 10 적습니다. 결과에 관계없이 먼저 게임당 € 10를 지불해야합니다.
각 결과의 확률을 결정하십시오. 이 경우 6 개의 결과에 대한 확률은 동일합니다. 임의의 숫자가 굴릴 확률은 6 분의 1입니다. 쉽게 적을 수 있도록 계산기를 사용하여 분수 (1/6)를 소수로 씁니다 : 0.167. 특히 각 결과에 대해 서로 다른 확률로 문제를 풀고 싶다면 각 결과 옆에이 확률을 쓰십시오.
- 1/6 계산기는 0.166667과 같이 만들 수 있습니다. 정확도를 희생하지 않고 쉽게 계산할 수 있도록이 값을 0.167로 반올림합니다.
- 매우 정확한 결과를 원하면 소수점으로 만들지 말고 공식에 1/6을 입력하고 계산기에서 계산하십시오.
각 결과의 가치를 기록하십시오. 결과의 $에 결과가 발생할 확률을 곱하여 결과가 예상 가치에 얼마나 기여하는지 계산합니다. 예를 들어 1을 굴린 결과는-$ 10이고 1을 굴릴 확률은 0.167입니다. 따라서 1을 던지는 값은 (-10) * (0.167)입니다.
- 동시에 여러 작업을 수행 할 수있는 계산기가 있으면 지금 이러한 결과를 계산할 필요가 없습니다. 전체 방정식을 입력하면 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
이벤트의 예상 가치를 얻으려면 각 결과의 가치를 더하십시오. 위의 예를 계속하려면 주사위 게임의 예상 값은 다음과 같습니다. (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0.167) + (20 * 0.167) 또는-€ 1.67. 따라서이 게임에서 매번 $ 1.67을 잃을 것으로 예상 할 수 있습니다 (게임당).
기대 값 계산의 의미는 무엇입니까? 위의 예에서 예상 이익 (손실)은 던질 때마다 € 1.67입니다. 이것은 한 게임에서 불가능한 결과입니다. 10 유로를 잃거나 10 유로를이기거나 20 유로를 이길 수 있습니다. 그러나 장기적으로 기대 값은 유용한 평균 확률입니다. 이 게임을 계속하면 게임당 평균 $ 1.67의 손실이 발생합니다. 예상 가치에 대해 생각하는 또 다른 방법은 게임에 특정 비용 (또는 혜택)을 할당하는 것입니다. 이 게임은 그만한 가치가있는 경우에만 플레이해야하며 매번 $ 1.67을 지출 할만큼 충분히 즐기십시오.
- 상황이 자주 반복 될수록 예상 값은 실제 평균 결과를 더 정확하게 나타냅니다. 예를 들어, 게임을 5 번 연속해서 플레이하고 매번 패배하여 평균 10 달러의 손실을 입을 수 있습니다. 그러나 게임을 1000 번 더 플레이하면 평균 결과가 게임당 € 1.67의 예상 가치에 가까워지고 더 가까워집니다. 이 원칙을 "대수의 법칙"이라고합니다.

방법 2/3 : 특정 결과에 대한 예상 값 계산

이 방법을 사용하여 특정 패턴이 발생하기 전에 뒤집어 야하는 평균 동전 수를 계산합니다. 예를 들어,이 방법을 사용하여 두 번 연속으로 앞면이 나올 때까지 뒤집을 예상 동전 수를 알아낼 수 있습니다. 이 문제는 기대 값에 대한 표준 문제보다 약간 까다롭기 때문에 기대 값의 개념에 익숙하지 않은 경우 먼저이 기사의 위 부분을 읽으십시오.
우리가 값 x를 찾고 있다고 가정합니다. 두 개의 앞면을 연속으로 얻기 위해 평균적으로 얼마나 많은 동전을 뒤집어 야하는지 결정하려고합니다. 이제 우리는 답을 찾기 위해 비교합니다. 우리는 우리가 찾고있는 답을 x라고 부릅니다. 필요한 비교를 단계별로 수행합니다. 현재 다음이 있습니다.
- x = ___
첫 번째 플립에서 동전이 생성되면 어떻게되는지 생각해보십시오. 이는 절반의 경우에 해당됩니다. 이 경우 롤오버를 "낭비"한 반면 머리를 두 번 연속으로 굴릴 수있는 기회는 변경되지 않았습니다. 동전 던지기와 마찬가지로 두 번 연속으로 머리가 나오기 전에 평균 횟수를 던져야 할 것으로 예상됩니다. 즉, x 번을 굴리고 이미 플레이 한 것을 예상합니다. 방정식의 형태 :
- x = (0.5) (x + 1) + ___
- 우리는 다른 상황에 대해 계속 생각하면서 빈 공간을 채울 것입니다.
- 더 쉽거나 필요한 경우 소수 대신 분수를 사용할 수 있습니다.
머리를 던지면 어떤 일이 벌어 질지 생각해보십시오. 처음으로 컵을 던질 확률은 0.5 (또는 1/2)입니다. 두 번 연속으로 머리를 던지는 목표에 가까워지는 것 같지만 얼마나? 알아내는 가장 쉬운 방법은 두 번째 롤에 대한 옵션을 생각하는 것입니다.
- 두 번째 던지기가 동전이면 처음으로 돌아갑니다.
- 두 번째도 컵이면 끝났습니다!
두 사건이 모두 발생할 확률을 계산하는 방법을 알아 봅니다. 이제 우리는 당신이 컵을 던질 확률이 50 %라는 것을 알고 있지만 컵을 두 번 연속으로 던질 확률은 얼마입니까? 이 확률을 계산하려면 두 확률을 곱하십시오. 이 경우 0.5 x 0.5 = 0.25입니다. 물론 이것은 둘 다 0.5 x 0.5 = 0.25의 확률로 발생하기 때문에 앞면과 뒷면을 굴릴 기회이기도합니다.
"heads, then tails"에 대한 결과를 방정식에 추가합니다. 이 이벤트가 발생할 확률을 계산 했으므로 이제 방정식을 확장 할 수 있습니다. 앞으로 나아 가지 않고 두 번 던지는 것을 낭비 할 확률은 0.25 (또는 1/4)입니다. 그러나 이제 우리는 우리가 얻고 자하는 결과를 얻기 위해 평균 x 번의 더 많은 던지기와 우리가 이미 던진 2를 더해야합니다. 방정식 형식에서 이것은 (0.25) (x + 2)가되며 이제 방정식에 추가 할 수 있습니다.
- x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + ___
방정식에 "heading, heading"에 대한 결과를 추가합니다. 머리를 굴리고 동전을 처음 두 번 던지면 끝납니다. 정확히 2 번 던진 결과를 얻었습니다. 앞서 언급했듯이 이런 일이 발생할 확률은 0.25이므로 이에 대한 방정식은 (0.25) (2)입니다. 이제 비교가 완료되었습니다.
- x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + (0.25) (2)
- 가능한 모든 상황을 고려했는지 확실하지 않은 경우 방정식이 완료되었는지 쉽게 확인할 수있는 방법이 있습니다. 방정식의 각 부분에서 첫 번째 숫자는 이벤트가 발생할 확률을 나타냅니다. 이것은 항상 1이됩니다. 여기에서 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1이므로 모든 상황이 포함되어 있음을 알고 있습니다.
방정식을 단순화하십시오. 곱하여 방정식을 좀 더 쉽게 만들어 봅시다. (0.5) (x + 1)과 같이 괄호 안에 무언가가 있으면 0.5를 두 번째 괄호 세트에있는 각 항으로 곱합니다. 이렇게하면 0.5x + (0.5) (1) 또는 0.5x + 0.5가됩니다. 방정식의 각 항에 대해이 작업을 수행 한 다음이 항을 결합하여 모두 조금 더 간단하게 보이도록합니다.
- x = 0.5x + (0.5) (1) + 0.25x + (0.25) (2) + (0.25) (2)
- x = 0.5x + 0.5 + 0.25x + 0.5 + 0.5
- x = 0.75x + 1.5
x를 구하십시오. 다른 방정식에서와 같이 방정식의 한쪽에서 x를 분리하여 계산해야합니다. x는 "두 번 연속으로 앞면을 얻기 위해 던져야하는 평균 동전 수"를 의미합니다. x를 계산했을 때 답도 찾았습니다.
- x = 0.75x + 1.5
- x-0.75x = 0.75x + 1.5-0.75x
- 0.25x = 1.5
- (0.25x) / (0.25) = (1.5) / (0.25)
- x = 6
- 평균적으로 머리를 두 번 던지기 전에 동전을 6 번 던져야합니다.

3 가지 방법 중 3 : 개념 이해

실제로 기대되는 값은 무엇입니까? 기대 값이 반드시 가장 분명하거나 논리적 인 결과는 아닙니다. 때때로 기대 값은 주어진 상황에서 불가능한 값이 될 수도 있습니다. 예를 들어, 상금이 € 10 이하인 게임의 기대 값은 + € 5가 될 수 있습니다. 기대 값이 나타내는 것은 특정 이벤트의 가치입니다. 게임의 예상 가치가 + € 5이면 게임당 얻을 수있는 시간과 돈의 가치가 있다고 생각되면 게임을 할 수 있습니다. 다른 게임의 예상 가치가-$ 20이면 각 게임이 $ 20의 가치가 있다고 생각할 때만 플레이합니다.
독립 이벤트의 개념을 이해하십시오. 일상 생활에서 우리 중 많은 사람들은 좋은 일이 일어나는 행운의 날이 있다고 생각하고 나머지 하루도 그렇게 될 것으로 기대합니다.같은 방식으로 우리는 사고를 충분히했고 지금은 정말 재미있는 일을해야한다고 생각할 수 있습니다. 수학적으로는 그렇게되지 않습니다. 일반 동전을 던지면 머리 나 동전을 던질 확률이 똑같습니다. 이미 던진 횟수는 중요하지 않습니다. 다음에 던질 때도 같은 방식으로 작동합니다. 동전 던지기는 다른 던지기와 "독립적"이며 영향을받지 않습니다.
- 동전 (또는 다른 우연의 게임)을 던질 때 당신이 운이 좋거나 불운 할 수 있다는 믿음, 또는 당신의 모든 불운이 이제 끝났고 행운이 당신 편이라는 사실을 도박꾼 부정 행위 (또는 도박꾼의 오류)라고도합니다. 이것은 사람들이 운이 자신의 편이라고 느끼거나 "행운의 연속"을 느끼거나 "운이 곧 바뀔 것"이라고 느낄 때 위험하거나 어리석은 결정을 내리는 경향과 관련이 있습니다. "
많은 수의 법칙을 이해하십시오. 기대 값은 상황의 실제 결과를 거의 알려주지 않기 때문에 실제로 유용하지 않다고 생각할 수 있습니다. 룰렛 게임의 예상 가치가-€ 1이고 게임을 세 번 플레이하면 일반적으로-€ 10, + € 60 또는 다른 결과가 나올 것입니다. "큰 숫자의 법칙"은 기대치가 생각보다 더 유용한 이유를 설명하는 데 도움이됩니다. 더 많이 플레이할수록 평균 결과가 기대치에 가까워집니다. 많은 수의 이벤트를 볼 때 최종 결과가 예상 값에 가까울 가능성이 높습니다.