수학적 증명 공식화

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단계로
3 가지 방법 중 1 : 문제 이해하기
3 가지 방법 중 2 : 증명 구조화
3 가지 방법 중 3 : 증거 작성
팁

수학적 증명은 어려울 수 있지만, 수학과 증명의 구조에 대한 적절한 배경 지식이 있으면 확실히 성공적으로 공식화 할 수 있습니다. 불행히도 증거를 만드는 방법을 배우는 빠르고 쉬운 방법은 없습니다. 논리적으로 증거를 개발하기위한 올바른 논문과 정의를 제시하려면 주제 지식에 대한 견고한 기초가 필요합니다. 예제를 읽고 스스로 연습함으로써 수학적 교정 기술을 습득 할 수 있습니다.

단계로

3 가지 방법 중 1 : 문제 이해하기

질문을 이해하십시오. 먼저 증명하려는 것이 무엇인지 정확히 결정해야합니다. 이 질문은 또한 증거의 최종 논문이 될 것입니다. 이 단계에서는 작업 할 가정도 정의합니다. 질문을 식별하고 필요한 가정을하는 것은 문제를 이해하고 증거를 개발하기위한 출발점을 제공합니다.
다이어그램을 그립니다. 수학 문제의 내부 작동을 이해하려고 할 때, 무슨 일이 일어나고 있는지 다이어그램을 그리는 것이 가장 쉬운 경우가 있습니다. 차트는 실제로 증명하고자하는 것을 시각화 할 수 있기 때문에 기하학적 증명에서 특히 중요합니다.
- 문제에 제공된 정보를 사용하여 증거 그림을 그립니다. 지인과 낯선 사람의 이름을 지정하십시오.
- 증거를 찾을 때 필요한 정보를 사용하여 증거를 뒷받침하십시오.
관련 정리의 증거를 연구하십시오. 증거를 구성하는 방법을 배우기는 어렵지만이를 배우는 훌륭한 방법은 관련 진술과 그 입증 방법을 연구하는 것입니다.
- 증거는 모든 단계가 입증되는 좋은 주장 일 뿐이라는 것을 인식하십시오. 온라인과 교과서에서 공부할 많은 증거를 찾을 수 있습니다.
질문. 증거에 갇히는 것은 매우 정상입니다. 알아낼 수없는 경우 선생님이나 급우에게 물어보십시오. 후자는 비슷한 질문이있을 수 있으며 문제에 대해 함께 작업 할 수 있습니다. 맹목적으로 증거를 살펴 보는 것보다 질문을하고 이해하는 것이 낫습니다.
- 추가 설명은 수업 후 선생님과상의하십시오.

3 가지 방법 중 2 : 증명 구조화

수학적 증명을 정의하십시오. 수학적 증명은 다른 수학적 진술의 정확성을 증명하는 정리 및 정의에 의해 지원되는 논리적 진술의 집합입니다. 증명은 주장이 수학적으로 유효한지 알 수있는 유일한 방법입니다.
- 수학적 증명을 공식화 할 수 있다는 것은 문제 자체 및 문제와 관련된 모든 개념에 대한 근본적인 이해를 나타냅니다.
- 증거는 또한 새롭고 흥미로운 방식으로 수학을 보도록 강요합니다. 증거가 결국 옳지 않은 것처럼 보이더라도 무언가를 증명하는 것만으로도 더 많은 지식과 통찰력을 얻을 수 있습니다.
청중을 알아라. 증명을 쓰기 전에 당신이 그것을 쓰는 청중과 그들이 이미 알고있는 것에 대해 생각해야합니다. 출판물에 대한 증거를 작성하면 고등학교 수업과는 다르게 작성합니다.
- 청중을 알면 청중이 가지고있는 배경 지식의 양을 감안할 때 이해할 수있는 방식으로 증거를 공식화 할 수 있습니다.
당신이 제시하는 증거의 유형을 이해하십시오. 몇 가지 다른 유형의 증명이 있으며 선택하는 것은 대상 청중과 할당에 따라 다릅니다. 어떤 버전을 사용해야할지 잘 모르겠 으면 교사에게 조언을 구하십시오. 고등학교에서는 공식적인 2 열 증명과 같은 특정 형식으로 증거를 공식화해야 할 수도 있습니다.
- 2 열 증명은 데이터와 어설 션이 한 열에 배치되고 그 옆에 지원 증거가 두 번째 열에 배치되는 구조입니다. 그들은 기하학에서 매우 자주 사용됩니다.
- 비공식적 인 단락 증명은 문법적으로 올바른 문장과 더 적은 기호를 사용합니다. 더 높은 수준에서는 항상 비공식적 인 증명을 사용해야합니다.
개요로 증명을 두 개의 열에 작성하십시오. 두 개의 열로 증명을 구성하는 것은 생각을 정리하고 문제를 고려하는 쉬운 방법입니다. 페이지 중앙에 선을 그리고 왼쪽에 모든 데이터와 설명을 작성합니다. 지원하는 데이터 옆의 오른쪽에 해당 정의 / 문을 작성하십시오.
- 예를 들면 :
- 각도 A와 각도 B는 선형 쌍을 형성합니다. 주어진.
- 코너 ABC는 직선입니다. 직각의 정의.
- 각도 ABC는 180 °입니다. 라인의 정의.
- 각도 A + 각도 B = 각도 ABC. 각도 추가를 가정합니다.
- 각도 A + 각도 B = 180 °. 치환.
- 각도 B를 보완하는 각도 A. 추가 각도의 정의.
- Q.E.D.
두 열의 증명을 비공식 증명으로 변환합니다. 두 개의 열에있는 증명을 기반으로 너무 많은 기호와 약어가없는 단락으로 비공식 증명을 작성하십시오.
- 예를 들어 각도 A와 B가 선형 쌍이라고 가정 해 보겠습니다. 가설은 각도 A와 각도 B가 서로 보완 적이라는 것입니다 (보완적임). 각도 A와 각도 B는 선형 쌍이기 때문에 직선을 형성합니다. 직선은 180 ° 각도로 정의됩니다. 각도 추가에 대한 가정이 주어지면 각도 A와 B가 함께 선 ABC를 형성합니다. 대체 방식으로 A와 B는 함께 180 °이므로 보조 각도입니다. Q.E.D.

3 가지 방법 중 3 : 증거 작성

수학적 증명의 어휘를 배우십시오. 수학적 증명에서 계속해서 보는 특정 진술과 문장이 있습니다. 이것들은 당신이 잘 알고 있어야하고 자신의 증거를 만들 때 잘 사용할 수 있어야하는 문구들입니다.
- "A이면 B"는 A가 참이면 B도 참이어야 함을 보여야 함을 의미합니다.
- "A if and only if B"는 A와 B가 동시에 참과 거짓임을 증명해야 함을 의미합니다. "A면 B"와 "A면 B면 아님"을 모두 증명하십시오.
- "A 만 B면"은 "A면 B면 B"와 같은 의미이므로 자주 사용되지 않습니다. 당신이 그것을 발견했을 때 이것을 인식하는 것이 좋습니다.
- 증거를 만들 때 "우리"를 위해 "나"를 사용하지 않아야합니다.
모든 데이터를 기록하십시오. 증명을 작성할 때 첫 번째 단계는 모든 데이터를 식별하고 기록하는 것입니다. 알려진 내용과 증거를 완료하는 데 필요한 정보에 대해 생각하는 데 도움이되므로 시작하기에 가장 좋은 곳입니다. 문제를 읽고 각 정보를 기록하십시오.
- 예 : 선형 쌍을 형성하는 두 각도 (각도 A와 각도 B)가 보완적임을 증명하십시오.
- 주어진 : 각도 A와 각도 B는 선형 쌍을 형성합니다.
- 증명 : 각도 A는 각도 B에 대한 보충입니다.
모든 변수를 정의하십시오. 데이터를 쓰는 것 외에도 모든 변수를 정의하는 것이 유용합니다. 독자의 혼동을 피하기 위해 증거 시작 부분에 정의를 작성하십시오. 변수가 정의되지 않은 경우 독자는 증거를 이해하려고 애 쓰면서 쉽게 길을 잃을 수 있습니다.
- 아직 정의되지 않은 증명에 변수를 사용하지 마십시오.
- 예 : 변수는 각도 A와 각도 B의 측정 값입니다.
증거를 통해 거꾸로 작업하십시오. 문제에 대해 뒤로 생각하는 것이 가장 쉬운 경우가 많습니다. 결론부터 증명하려는 것부터 시작하여 처음으로 돌아갈 수있는 단계에 대해 생각하십시오.
- 시작과 끝의 단계를 편집하여 유사한 지 확인하십시오. 학습 한 데이터, 정의 및 유사한 증거를 사용하십시오.
- 그 과정에서 스스로에게 질문하십시오. "왜 그렇습니까?"그리고 "이것이 잘못된 방법이 있습니까?"모든 진술이나 주장에 대한 좋은 질문입니다.
- 최종 증명을 위해 순서대로 단계를 작성하는 것을 잊지 마십시오.
- 예 : 각도 A와 B가 보조적인 경우 함께 180 °가되어야합니다. 두 모서리가 함께 ABC 선을 형성합니다. 선형 쌍의 정의로 인해 선을 형성한다는 것을 알고 있습니다. 직선은 180 °이므로 대체를 사용하여 각도 A와 각도 B의 합이 180 °가되었음을 증명할 수 있습니다.
단계를 논리적 순서로 배치하십시오. 처음부터 증거를 시작하고 결론에 도달 할 때까지 작업하십시오. 증거에 대해 생각하는 것은 도움이되지만, 결론부터 시작하여 거꾸로 작업하면 실제 증거를 제시 할 때 마지막에 결론을 내릴 것입니다. 증거의 진술은 각 진술에 대한 입증과 함께 서로로부터 흘러야하므로 증거의 타당성을 의심 할 이유가 없습니다.
- 작업중인 가정을 나열하여 시작하십시오.
- 독자가 한 단계가 다른 단계에서 논리적으로 어떻게 흐르는 지 궁금해하지 않도록 간단하고 명확한 단계로 나누십시오.
- 여러 개념 증명을 공식화하는 것은 드문 일이 아닙니다. 모든 단계가 가장 논리적 인 순서가 될 때까지 계속 재정렬하십시오.
- 예 : 처음부터 시작합니다.
  - 각도 A와 각도 B는 선형 쌍을 형성합니다.
  - 코너 ABC는 직선입니다.
  - 각도 ABC는 180 °입니다.
  - 각도 A + 각도 B = 각도 ABC.
  - 각도 A + 각도 B = 180 °.
  - 각도 A는 각도 B에 대한 보조입니다.
서면 증거에 화살표와 약어를 사용하지 마십시오. 증명 계획을 요약 할 때 속기 및 기호를 사용할 수 있지만 최종 증명을 작성할 때는 화살표와 같은 기호가 독자를 혼란스럽게 할 수 있습니다. 대신 "then"또는 "so"와 같은 단어를 사용하십시오.
- 약어 사용에 대한 예외 : 예 : (예 :) 및 예 : (예 :), 올바르게 사용하는지 확인하십시오.
정리 (정리), 법칙 또는 정의로 모든 진술을 뒷받침하십시오. 증거는 사용 된 증거만큼만 좋습니다. 정의로 입증하지 않고는 진술을 할 수 없습니다. 다른 유사한 증거를 예로 참조하십시오.
- 귀하의 증거를 그릇된 이어야하며 이것이 실제로 사실인지 확인하십시오. 결과가 거짓이 아닌 경우 증명을 조정하십시오.
- 많은 기하학적 증명은 진술과 증명과 함께 2 열 증명으로 작성됩니다. 출판을 목적으로하는 공식적인 수학적 증명은 올바른 문법을 가진 문단으로 작성됩니다.
결론 또는 Q.E.D로 끝내십시오. 마지막 증거 진술은 증명하려는 가설이어야합니다. 이 진술을 한 후에는 Q.E.D와 같은 마지막 기호로 증명을 닫습니다. 증명이 완료되었음을 나타내는 단색 사각형입니다.
- Q.E.D. "quod erat demonstrandum"(라틴어는 "증명 되어야만하는 것"을 의미 함)을 의미합니다.
- 증거가 정확한지 확실하지 않은 경우, 결론이 무엇이며 왜 중요한지 몇 문장으로 작성하십시오.