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• 단계
• 방법 1/3: 상수 항 없이 3차 방정식을 푸는 방법
• 방법 2/3: 승수를 사용하여 전체 근을 찾는 방법
• 방법 3/3: 판별식을 사용하여 방정식을 푸는 방법

3차 방정식에서 가장 높은 지수는 3이며, 이러한 방정식은 3개의 근(해)을 가지며 다음 형식을 갖습니다. ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... 일부 3차 방정식은 풀기 쉽지 않지만 올바른 방법을 적용하면(좋은 이론적 배경과 함께) 가장 복잡한 3차 방정식의 근도 찾을 수 있습니다. 이를 위해 이차 방정식을 푸는 공식을 사용하여 전체 근을 계산하거나 판별식을 계산합니다.

단계

방법 1/3: 상수 항 없이 3차 방정식을 푸는 방법

1. 1 3차 방정식에 자유항이 있는지 확인 NS{ 디스플레이 스타일 d}. 3차 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... 방정식이 3차로 간주되기 위해서는 항만 있으면 충분합니다. ${ 디스플레이 스타일 x ^ {3}}$ (즉, 다른 구성원이 전혀 없을 수 있음).
   • 방정식에 자유 항이 있는 경우 ${ 디스플레이 스타일 d}$, 다른 방법을 사용하십시오.
   • 만약 방정식에서 ${ 디스플레이 스타일 a = 0}$, 큐빅이 아닙니다.
2. 2 대괄호에서 꺼내 NS{ 디스플레이 스타일 x}. 방정식에 자유항이 없기 때문에 방정식의 각 항에는 변수가 포함됩니다. ${ 디스플레이 스타일 x}$... 이것은 하나의 ${ 디스플레이 스타일 x}$ 방정식을 단순화하기 위해 괄호에서 제외할 수 있습니다. 따라서 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • 예를 들어, 3차 방정식이 주어지면 ${ 디스플레이 스타일 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • 테이크 아웃 ${ 디스플레이 스타일 x}$ 대괄호 및 가져오기 ${ 디스플레이 스타일 x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 2차 방정식(가능한 경우)을 인수(두 이항식의 곱)합니다. 형식의 많은 이차 방정식 ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ 인수분해할 수 있습니다. 우리가 꺼내면 그러한 방정식이 나올 것입니다. ${ 디스플레이 스타일 x}$ 대괄호 외부. 우리의 예에서:
   • 대괄호에서 꺼내 ${ 디스플레이 스타일 x}$: ${ 디스플레이 스타일 x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • 이차 방정식의 인수분해: ${ 디스플레이 스타일 x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • 각 빈을 다음과 같게 하십시오. ${ 디스플레이 스타일 0}$... 이 방정식의 근은 ${ 디스플레이 스타일 x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 특수 공식을 사용하여 이차 방정식을 풉니다. 이차 방정식을 인수분해할 수 없는 경우 이 작업을 수행합니다. 방정식의 두 근을 찾으려면 계수 값 ${ 표시 스타일 a}$, ${ 디스플레이 스타일 b}$, ${ 디스플레이 스타일 c}$ 공식에서 대체 ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • 이 예에서는 계수 값을 대체합니다. ${ 표시 스타일 a}$, ${ 디스플레이 스타일 b}$, ${ 디스플레이 스타일 c}$ (${ 디스플레이 스타일 3}$, ${ 디스플레이 스타일 -2}$, ${ 디스플레이 스타일 14}$) 공식으로:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 오후 { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • 첫 번째 루트:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • 두 번째 루트:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 3차 방정식의 해로 0과 2차 근을 사용합니다. 2차 방정식은 근이 2개이고 3차 방정식은 근이 3입니다. 이미 두 가지 해를 찾았습니다. 이것이 이차 방정식의 근입니다. 대괄호 외부에 "x"를 넣으면 세 번째 솔루션은 다음과 같습니다. ${ 디스플레이 스타일 0}$.
   • 대괄호에서 "x"를 빼면 ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, 즉 두 가지 요소: ${ 디스플레이 스타일 x}$ 괄호 안의 이차 방정식. 이러한 요인 중 하나라도 해당되면 ${ 디스플레이 스타일 0}$, 전체 방정식은 다음과 같습니다. ${ 디스플레이 스타일 0}$.
   • 따라서 이차 방정식의 두 근은 3차 방정식의 해입니다. 세 번째 솔루션은 ${ 디스플레이 스타일 x = 0}$.

방법 2/3: 승수를 사용하여 전체 근을 찾는 방법

1. 1 3차 방정식에 자유 항이 있는지 확인하십시오. NS{ 디스플레이 스타일 d}. 형식의 방정식이라면 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ 무료 회원이 있습니다 ${ 디스플레이 스타일 d}$ (0과 같지 않음) "x"를 대괄호 외부에 넣는 것은 작동하지 않습니다. 이 경우 이 섹션에 설명된 방법을 사용하십시오.
   • 예를 들어, 3차 방정식이 주어지면 ${ 디스플레이 스타일 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... 방정식의 오른쪽에서 0을 얻으려면 다음을 추가하십시오. ${ 디스플레이 스타일 6}$ 방정식의 양쪽에.
   • 방정식이 나올 것입니다 ${ 디스플레이 스타일 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... NS ${ 디스플레이 스타일 d = 6}$, 첫 번째 섹션에서 설명한 방법을 사용할 수 없습니다.
2. 2 계수의 요인을 기록하십시오 NS{ 표시 스타일 a} 그리고 무료회원 NS{ 디스플레이 스타일 d}. 즉, 에서 숫자의 인수를 찾습니다. ${ 디스플레이 스타일 x ^ {3}}$ 등호 앞의 숫자. 숫자의 인수는 곱할 때 해당 숫자를 생성하는 숫자입니다.
   • 예를 들어 번호를 얻으려면 6, 곱해야 합니다. ${ displaystyle 6 배 1}$ 그리고 ${ displaystyle 2 곱하기 3}$... 그래서 숫자 1, 2, 3, 6 숫자의 요인입니다 6.
   • 우리의 방정식에서 ${ 디스플레이 스타일 a = 2}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 d = 6}$... 승수 2 ~이다 1 그리고 2... 승수 6 숫자입니다 1, 2, 3 그리고 6.
3. 3 각 요인을 나눕니다. NS{ 표시 스타일 a} 각 요인에 대해 NS{ 디스플레이 스타일 d}. 결과적으로 많은 분수와 여러 정수를 얻게 됩니다. 3차 방정식의 근은 정수 중 하나이거나 정수 중 하나의 음수 값입니다.
   • 이 예에서는 요인을 나눕니다. ${ 표시 스타일 a}$ (1 그리고 2) 요인별 ${ 디스플레이 스타일 d}$ (1, 2, 3 그리고 6). 당신은 얻을 것이다: ${ 디스플레이 스타일 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ 디스플레이 스타일 2}$ 그리고 ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... 이제 얻은 분수와 숫자의 음수 값을이 목록에 추가하십시오. ${ 디스플레이 스타일 1}$, ${ 표시 스타일 -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ 디스플레이 스타일 2}$, ${ 디스플레이 스타일 -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ 그리고 ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... 3차 방정식의 전체 근은 이 목록의 일부 숫자입니다.
4. 4 3차 방정식에 정수를 대입합니다. 평등이 참이면 대체된 숫자는 방정식의 근입니다. 예를 들어, 방정식에서 대입 ${ 디스플레이 스타일 1}$:
   • ${ 디스플레이 스타일 2(1) ^ {3} +9(1) ^ {2} +13(1) +6}$ = ${ 디스플레이 스타일 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, 즉 동등성이 관찰되지 않습니다. 이 경우 다음 번호를 연결하십시오.
   • 대리자 ${ 표시 스타일 -1}$: ${ 표시 스타일 (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. 따라서, ${ 표시 스타일 -1}$ 는 방정식의 전체 근입니다.
5. 5 다항식을 다음으로 나누는 방법을 사용합니다. 호너의 계획방정식의 근을 더 빨리 찾을 수 있습니다. 방정식에 숫자를 수동으로 대체하지 않으려면 이 작업을 수행하십시오. Horner의 계획에서 정수는 방정식의 계수 값으로 나뉩니다. ${ 표시 스타일 a}$, ${ 디스플레이 스타일 b}$, ${ 디스플레이 스타일 c}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 d}$... 숫자가 균등하게 나눌 수 있는 경우(즉, 나머지는 ${ 디스플레이 스타일 0}$), 정수는 방정식의 근입니다.
   • Horner의 계획은 별도의 기사가 필요하지만 다음은 이 계획을 사용하여 3차 방정식의 근 중 하나를 계산하는 예입니다.

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 그래서 나머지는 ${ 디스플레이 스타일 0}$, 하지만 ${ 표시 스타일 -1}$ 방정식의 근 중 하나입니다.

방법 3/3: 판별식을 사용하여 방정식을 푸는 방법

1. 1 방정식의 계수 값을 기록하십시오 NS{ 표시 스타일 a}, NS{ 디스플레이 스타일 b}, 씨{ 디스플레이 스타일 c} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 d}. 앞으로 혼동되지 않도록 표시된 계수의 값을 미리 적어 두는 것이 좋습니다.
   • 예를 들어, 주어진 방정식 ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... 쓰다 ${ 디스플레이 스타일 a = 1}$, ${ 디스플레이 스타일 b = -3}$, ${ 디스플레이 스타일 c = 3}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 d = -1}$... 이전의 경우 기억하십시오. ${ 디스플레이 스타일 x}$ 숫자가 없으면 해당 계수가 여전히 존재하며 다음과 같습니다. ${ 디스플레이 스타일 1}$.
2. 2 특수 공식을 사용하여 0 판별식을 계산합니다. 판별식을 사용하여 3차 방정식을 풀려면 여러 가지 어려운 계산을 수행해야 하지만 모든 단계를 올바르게 수행하면 이 방법이 가장 복잡한 3차 방정식을 푸는 데 없어서는 안 될 것입니다. 첫 번째 계산 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (zero discriminant)는 우리가 필요로 하는 첫 번째 값입니다. 이렇게하려면 공식에서 해당 값을 대체하십시오 ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • 판별식은 다항식의 근을 특성화하는 숫자입니다(예: 이차 방정식의 판별식은 다음 공식으로 계산됩니다. ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • 우리의 방정식에서:

     ${ 디스플레이 스타일 b ^ {2} -3ac}$

     ${ 표시 스타일 (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ 디스플레이 스타일 9-3 (1) (3)}$

     ${ 디스플레이 스타일 9-9 = 0 = 델타 _ {0}}$

3. 3 공식을 사용하여 첫 번째 판별식을 계산합니다. Δ1=2NS3−9NSNS씨+27NS2NS{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. 첫 번째 판별식 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - 이것은 두 번째로 중요한 가치입니다. 그것을 계산하려면 해당 값을 지정된 수식에 연결하십시오.
   • 우리의 방정식에서:

     ${ 디스플레이 스타일 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ 디스플레이 스타일 2(-27) -9(-9) +27(-1)}$

     ${ 표시 스타일 -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = 델타 _ {1}}$

4. 4 계산하다:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... 즉, 구한 값을 통해 3차 방정식의 판별식을 구합니다. ${ displaystyle Delta _ {0}}$ 그리고 ${ displaystyle Delta _ {1}}$... 3차 방정식의 판별식이 양수이면 방정식에는 3개의 근이 있습니다. 판별식이 0이면 방정식에는 하나 또는 두 개의 근이 있습니다. 판별식이 음수이면 방정식은 하나의 근을 갖습니다.
   • 이 방정식의 그래프가 X축과 최소한 한 점에서 교차하기 때문에 3차 방정식에는 항상 최소한 하나의 근이 있습니다.
   • 우리의 방정식에서 ${ displaystyle 델타 _ {0}}$ 그리고 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ 같다 ${ 디스플레이 스타일 0}$, 그래서 당신은 쉽게 계산할 수 있습니다 ${ 디스플레이 스타일 델타}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ 디스플레이 스타일 0-0 div 27}$

     ${ 디스플레이 스타일 0 = 델타}$... 따라서 우리 방정식에는 하나 또는 두 개의 근이 있습니다.

5. 5 계산하다:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { 왼쪽({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } 오른쪽) div 2}}}$. ${ 디스플레이 스타일 C}$ - 이것은 발견된 마지막 중요한 양입니다. 방정식의 근을 계산하는 데 도움이 됩니다. 값을 지정된 수식으로 대체 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ 그리고 ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • 우리의 방정식에서:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ 디스플레이 스타일 0 = C}$

6. 6 방정식의 세 근을 찾으십시오. 공식으로 하세요 ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, 어디 ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, 하지만 NS 와 동등하다 1, 2 또는 3... 이 공식에 적절한 값을 대입하십시오. 결과적으로 방정식의 세 가지 근을 얻을 수 있습니다.
   • 다음 공식을 사용하여 값을 계산합니다. NS = 1, 2 또는 3그런 다음 답을 확인하십시오. 답을 확인할 때 0이 나오면 이 값이 방정식의 근입니다.
   • 이 예에서는 대체 1 입력 ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ 그리고 얻다 0, 즉 1 방정식의 근 중 하나입니다.