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• 단계
• 4부 중 1부: 방정식 작성 방법
• 파트 2/4: 유클리드 알고리즘 작성 방법
• 3/4부: 유클리드 알고리즘을 사용하여 솔루션을 찾는 방법
• 4/4부: 무한한 다른 솔루션 찾기

선형 디오판틴 방정식을 풀려면 정수인 변수 "x"와 "y"의 값을 찾아야 합니다. 정수 솔루션은 평소보다 복잡하고 특정 작업 집합이 필요합니다. 먼저 계수의 최대공약수(GCD)를 계산한 다음 솔루션을 찾아야 합니다. 선형 방정식에 대한 하나의 정수 솔루션을 찾으면 간단한 패턴을 사용하여 무한한 수의 다른 솔루션을 찾을 수 있습니다.

단계

4부 중 1부: 방정식 작성 방법

1. 1 방정식을 표준 형식으로 작성하십시오. 선형 방정식은 변수의 지수가 1을 초과하지 않는 방정식입니다. 이러한 선형 방정식을 풀려면 먼저 표준 형식으로 작성하십시오. 선형 방정식의 표준 형식은 다음과 같습니다. ${ displaystyle Ax + By = C}$, 어디 ${ 디스플레이 스타일 A, B}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 C}$ - 정수.
   • 방정식이 다른 형식으로 주어지면 기본 대수 연산을 사용하여 표준 형식으로 가져옵니다. 예를 들어, 주어진 방정식 ${ 디스플레이 스타일 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... 유사한 용어를 제공하고 다음과 같이 방정식을 작성하십시오. ${ 디스플레이 스타일 16x + 7y = 15}$.
2. 2 방정식을 단순화하십시오(가능한 경우). 방정식을 표준 형식으로 작성할 때 계수를 살펴보십시오. ${ 디스플레이 스타일 A, B}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 C}$... 이 배당률에 GCD가 있는 경우 세 배당률을 모두 GCD로 나눕니다. 이러한 단순화된 방정식의 해는 원래 방정식의 해이기도 합니다.
   • 예를 들어, 3개의 계수가 모두 짝수이면 최소 2로 나눕니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 42x + 36y = 48}$ (모든 멤버는 2의 배수)
     • ${ 디스플레이 스타일 21x + 18y = 24}$ (이제 모든 구성원은 3으로 나눌 수 있음)
     • ${ 디스플레이 스타일 7x + 6y = 8}$ (이 방정식은 더 이상 단순화할 수 없음)
3. 3 방정식을 풀 수 있는지 확인하십시오. 어떤 경우에는 방정식에 해가 없다고 즉시 말할 수 있습니다. 계수 "C"가 계수 "A"와 "B"의 GCD로 나눌 수 없는 경우 방정식에는 해가 없습니다.
   • 예를 들어 두 계수가 모두 ${ 디스플레이 스타일 A}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 B}$ 짝수이면 계수 ${ 디스플레이 스타일 C}$ 균일해야합니다. 하지만 만약 ${ 디스플레이 스타일 C}$ 이상하면 해결책이 없습니다.
     • 방정식 ${ 디스플레이 스타일 2x + 4y = 21}$ 정수 솔루션이 없습니다.
     • 방정식 ${ 디스플레이 스타일 5x + 10y = 17}$ 방정식의 왼쪽은 5로 나누어 떨어지고 오른쪽은 그렇지 않기 때문에 정수 솔루션이 없습니다.

파트 2/4: 유클리드 알고리즘 작성 방법

1. 1 유클리드 알고리즘을 이해한다. 이전 나머지가 다음 제수로 사용되는 일련의 반복 나눗셈입니다. 숫자를 정수로 나누는 마지막 제수는 두 숫자의 최대공약수(GCD)입니다.
   • 예를 들어, Euclid 알고리즘을 사용하여 숫자 272와 36의 GCD를 구해 보겠습니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 272 = 7 * 36 + 20}$ - 큰 수(272)를 작은 수(36)로 나누고 나머지(20)에 주의하십시오.
     • ${ 디스플레이 스타일 36 = 1 * 20 + 16}$ - 이전 제수(36)를 이전 나머지(20)로 나눕니다. 새 잔류물(16)을 확인합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 20 = 1 * 16 + 4}$ - 이전 제수(20)를 이전 나머지(16)로 나눕니다. 새 잔류물(4)을 확인합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 16 = 4 * 4 + 0}$ - 이전 제수(16)를 이전 나머지(4)로 나눕니다. 나머지가 0이므로 4는 원래 두 숫자 272와 36의 GCD라고 말할 수 있습니다.
2. 2 계수 "A"와 "B"에 유클리드 알고리즘을 적용합니다. 1차방정식을 표준형으로 작성할 때 계수 "A"와 "B"를 결정한 다음 유클리드 알고리즘을 적용하여 GCD를 구합니다. 예를 들어, 선형 방정식이 주어지면 ${ 디스플레이 스타일 87x-64y = 3}$.
   • 다음은 계수 A = 87 및 B = 64에 대한 유클리드 알고리즘입니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ 디스플레이 스타일 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ 디스플레이 스타일 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ 디스플레이 스타일 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ 디스플레이 스타일 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ 디스플레이 스타일 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ 디스플레이 스타일 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 최대공약수(GCD)를 구합니다. 마지막 제수가 1이므로 GCD 87과 64는 1입니다. 따라서 87과 64는 서로 상대적인 소수입니다.
4. 4 결과를 분석합니다. gcd 계수를 찾을 때 ${ 디스플레이 스타일 A}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 B}$, 계수와 비교 ${ 디스플레이 스타일 C}$ 원래 방정식. 만약에 ${ 디스플레이 스타일 C}$ gcd로 나눌 수 있음 ${ 디스플레이 스타일 A}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 B}$, 방정식에는 정수 솔루션이 있습니다. 그렇지 않으면 방정식에 솔루션이 없습니다.
   • 예를 들어, 방정식 ${ 디스플레이 스타일 87x-64y = 3}$ 3은 1로 나눌 수 있기 때문에 풀 수 있습니다(gcd = 1).
   • 예를 들어 GCD = 5라고 가정합니다. 3은 5로 균등하게 나누어지지 않으므로 이 방정식에는 정수 솔루션이 없습니다.
   • 아래 그림과 같이 방정식에 하나의 정수 해가 있으면 무한한 수의 다른 정수 해도 있습니다.

3/4부: 유클리드 알고리즘을 사용하여 솔루션을 찾는 방법

1. 1 GCD를 계산하는 단계에 번호를 매깁니다. 선형 방정식의 해를 찾으려면 대체 및 단순화 프로세스의 기초로 유클리드 알고리즘을 사용해야 합니다.
   • GCD를 계산하는 단계에 번호를 매기는 것부터 시작하십시오. 계산 과정은 다음과 같습니다.
     • ${ displaystyle { text {Step 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Step 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Step 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {4단계}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Step 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Step 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Step 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 나머지가있는 마지막 단계에주의하십시오. 이 단계의 방정식을 다시 작성하여 나머지를 분리합니다.
   • 이 예에서 나머지가 있는 마지막 단계는 6단계입니다. 나머지는 1입니다. 6단계의 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 이전 단계의 나머지 부분을 분리합니다. 이 프로세스는 단계별 "위로 이동"입니다. 매번 이전 단계에서 방정식의 나머지를 분리합니다.
   • 5단계에서 방정식의 나머지 부분을 분리합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 2 = 5- (1 * 3)}$ 또는 ${ 디스플레이 스타일 2 = 5-3}$
4. 4 대체하고 단순화하십시오. 6단계의 방정식에는 숫자 2가 포함되어 있고 5단계의 방정식에서는 숫자 2가 분리되어 있습니다. 따라서 6단계의 방정식에서 "2" 대신 5단계의 표현식을 대체합니다.
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 3-2}$ (6단계의 방정식)
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 3- (5-3)}$ (2 대신 식이 대체됨)
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 3-5 + 3}$ (열린 괄호)
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(3) -5}$ (쉽게 한)
5. 5 대체 및 단순화 과정을 반복합니다. 유클리드 알고리즘을 역순으로 이동하면서 설명된 과정을 반복합니다. 매번 이전 단계의 방정식을 다시 작성하여 얻은 마지막 방정식에 연결합니다.
   • 우리가 살펴본 마지막 단계는 5단계였습니다. 따라서 4단계로 이동하여 해당 단계에 대한 방정식의 나머지를 분리합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 3 = 18- (3 * 5)}$
   • 마지막 방정식에서 "3"을 이 표현식으로 대체합니다.
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(18) -6(5) -5}$
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(18) -7(5)}$
6. 6 대체 및 단순화 프로세스를 계속합니다. 이 과정은 유클리드 알고리즘의 초기 단계에 도달할 때까지 반복됩니다. 이 과정의 목표는 풀려는 원래 방정식의 계수 87과 64를 사용하여 방정식을 작성하는 것입니다. 우리의 예에서:
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(18) -7(5)}$
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(18) -7(23-18)}$ (3단계의 표현으로 대체)
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 2(18) -7(23) +7(18)}$
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9(18) -7(23)}$
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (2단계의 표현으로 대체)
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9(64) -18(23) -7(23)}$
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9(64) -25(23)}$
   • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9(64) -25(87-64)}$ (1단계의 표현으로 대체)
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 9(64) -25(87) +25(64)}$
     • ${ 디스플레이 스타일 1 = 34(64) -25(87)}$
7. 7 원래 계수에 따라 결과 방정식을 다시 작성하십시오. 유클리드 알고리즘의 첫 번째 단계로 돌아가면 결과 방정식에 원래 방정식의 두 계수가 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 항의 순서가 원래 방정식의 계수와 일치하도록 방정식을 다시 작성하십시오.
   • 이 예에서 원래 방정식은 ${ 디스플레이 스타일 87x-64y = 3}$... 따라서 계수가 일치하도록 결과 방정식을 다시 작성하십시오.계수 "64"에 특히 주의하십시오. 원래 방정식에서 이 계수는 음수이고 유클리드 알고리즘에서는 양수입니다. 따라서 인수 34는 음수로 만들어야 합니다. 최종 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
     • ${ 표시 스타일 87(-25) -64(-34) = 1}$
8. 8 솔루션을 찾기 위해 적절한 승수를 적용합니다. 이 예에서 GCD = 1이므로 최종 방정식은 1입니다. 그러나 원래 방정식(87x-64y)은 3입니다. 따라서 최종 방정식의 모든 항에 3을 곱하여 해를 구해야 합니다.
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ 표시 스타일 87(-75) -64(-102) = 3}$
9. 9 방정식의 정수 솔루션을 기록하십시오. 원래 방정식의 계수를 곱한 숫자가 해당 방정식의 해입니다.
   • 이 예에서는 솔루션을 좌표 쌍으로 작성합니다. ${ 표시 스타일 (x, y) = (- 75, -102)}$.

4/4부: 무한한 다른 솔루션 찾기

1. 1 무한한 수의 솔루션이 있음을 이해하십시오. 선형 방정식에 하나의 정수 해가 있으면 무한히 많은 정수 해가 있어야 합니다. 다음은 간단한 증명입니다(대수 형식).
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ ("x"에 "B"를 더하고 "y"에서 "A"를 빼면 원래 방정식의 값이 변경되지 않습니다)
2. 2 원래 x 및 y 값을 기록합니다. 다음(무한) 솔루션을 계산하기 위한 템플릿은 이미 찾은 유일한 솔루션으로 시작합니다.
   • 이 예에서 솔루션은 한 쌍의 좌표입니다. ${ 표시 스타일 (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 "x" 값에 "B" 계수를 추가합니다. 새로운 x 값을 찾으려면 이 작업을 수행하십시오.
   • 이 예에서 x = -75 및 B = -64:
     • ${ 표시 스타일 x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • 따라서 새 값 "x": x = -139입니다.
4. 4 "y" 값에서 "A" 계수를 뺍니다. 원래 방정식의 값이 변경되지 않도록 "x"에 하나의 숫자를 추가할 때 "y"에서 다른 숫자를 빼야 합니다.
   • 이 예에서 y = -102, A = 87:
     • ${ 디스플레이 스타일 y = -102-87 = -189}$
   • 따라서 "y"의 새 값은 y = -189입니다.
   • 새 좌표 쌍은 다음과 같이 작성됩니다. ${ 표시 스타일 (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 솔루션을 확인하십시오. 새 좌표 쌍이 원래 방정식의 해인지 확인하려면 값을 방정식에 연결하십시오.
   • ${ 디스플레이 스타일 87x-64y = 3}$
   • ${ 표시 스타일 87(-139) -64(-189) = 3}$
   • ${ 디스플레이 스타일 3 = 3}$
   • 평등이 충족되었으므로 결정이 옳습니다.
6. 6 많은 솔루션을 찾기 위해 표현을 적어보세요. "x"값은 원래 솔루션에 "B"요소의 배수를 더한 것과 같습니다. 이것은 다음 식으로 쓸 수 있습니다.
   • x(k) = x + k(B), 여기서 "x(k)"는 "x" 값의 집합이고 "x"는 찾은 "x"의 원래(첫 번째) 값입니다.
     • 우리의 예에서:
     • ${ 디스플레이 스타일 x (k) = - 75-64k}$
   • y(k) = y-k(A), 여기서 y(k)는 y 값의 집합이고 y는 찾은 원래(첫 번째) y 값입니다.
     • 우리의 예에서:
     • ${ 디스플레이 스타일 y(k) = - 102-87k}$