행렬 풀기

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단계로
4 단계 중 1 : 행렬 그리기
4 단계 중 2 : 행렬을 사용하여 시스템을 해결하기위한 연산 학습
4 단계 중 3 : 은하계 해결 단계 병합
4/4 부 : 솔루션 확인
팁

행렬은 블록 형식으로 숫자를 표현하는 매우 유용한 방법이며,이를 사용하여 선형 연립 방정식을 풀 수 있습니다. 두 개의 변수 만있는 경우 다른 방법을 사용할 수 있습니다. 이러한 다른 방법의 예를 보려면 방정식 시스템 풀기에서 이에 대해 읽어보십시오. 그러나 세 개 이상의 변수가있는 경우 배열이 이상적입니다. 곱셈과 더하기의 반복적 인 조합을 사용하여 체계적으로 솔루션에 도달 할 수 있습니다.

단계로

4 단계 중 1 : 행렬 그리기

충분한 데이터가 있는지 확인하십시오. 행렬을 사용하여 선형 시스템의 모든 변수에 대해 고유 한 솔루션을 얻으려면 풀려는 변수 수만큼 방정식이 있어야합니다. 예를 들어, 변수 x, y 및 z에는 세 개의 방정식이 필요합니다. 4 개의 변수가있는 경우 4 개의 방정식이 필요합니다.
- 변수 수보다 방정식이 적 으면 변수의 일부 경계 (예 : x = 3y 및 y = 2z)를 찾을 수 있지만 정확한 솔루션을 얻을 수 없습니다. 이 기사에서는 고유 한 솔루션을 위해 노력할 것입니다.
표준 형식으로 방정식을 작성하십시오. 방정식의 데이터를 행렬 형식으로 입력하기 전에 먼저 각 방정식을 표준 형식으로 작성합니다. 선형 방정식의 표준 형식은 Ax + By + Cz = D입니다. 여기서 대문자는 계수 (숫자)이고 마지막 숫자 (이 예에서 D)는 등호 오른쪽에 있습니다.
- 더 많은 변수가있는 경우 필요한만큼 줄을 계속하십시오. 예를 들어, 6 개의 변수가있는 시스템을 풀려고 할 경우 기본 모양은 Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G와 같습니다. 이 기사에서는 변수가 세 개 뿐인 시스템에 초점을 맞출 것입니다. 더 큰 은하를 해결하는 것은 똑같지 만 더 많은 시간과 단계가 필요합니다.
- 표준 형식에서는 용어 간의 연산이 항상 추가됩니다. 덧셈 대신 방정식에 뺄셈이 있으면 나중에 계수를 음수로 설정하여 작업해야합니다. 이를 더 쉽게 기억하기 위해 방정식을 다시 작성하고 연산을 추가하고 계수를 음수로 만들 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 3x-2y + 4z = 1을 3x + (-2y) + 4z = 1로 다시 쓸 수 있습니다.
연립 방정식의 숫자를 행렬에 배치합니다. 행렬은 일종의 테이블에 배열 된 숫자 그룹으로, 시스템을 해결하기 위해 노력할 것입니다. 기본적으로 방정식 자체와 동일한 데이터를 포함하지만 더 간단한 형식입니다. 방정식의 행렬을 표준 형식으로 만들려면 각 방정식의 계수와 결과를 단일 행에 복사하고 해당 행을 서로 겹쳐 쌓으십시오.
- 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 및 x + y + z = 7의 세 방정식으로 구성된 시스템이 있다고 가정합니다. 행렬의 맨 위 행에는 숫자 3, 1, -1, 9가 포함됩니다. 이는 첫 번째 방정식의 계수와 해이기 때문입니다. 계수가없는 변수는 계수가 1 인 것으로 가정합니다. 행렬의 두 번째 행은 2, -2, 1, -3이되고 세 번째 행은 1, 1, 1, 7이됩니다.
- 첫 번째 열의 x 계수, 두 번째 열의 y 계수, 세 번째 열의 z 계수, 네 번째 열의 해 항을 정렬해야합니다. 행렬 작업을 마치면 솔루션을 작성할 때 이러한 열이 중요합니다.
전체 행렬 주위에 큰 대괄호를 그립니다. 관례 적으로 행렬은 전체 숫자 블록 주위에 한 쌍의 대괄호 []로 표시됩니다. 대괄호는 어떤 식 으로든 솔루션에 영향을주지 않지만 행렬을 사용하고 있음을 나타냅니다. 행렬은 여러 행과 열로 구성 될 수 있습니다. 이 기사에서는 한 줄로 된 용어를 괄호로 묶어 함께 속해 있음을 나타냅니다.
일반적인 상징주의 사용. 행렬로 작업 할 때 약어 R이있는 행과 약어 C가있는 열을 참조하는 것이 일반적입니다. 이러한 문자와 함께 숫자를 사용하여 특정 행이나 열을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 행렬의 행 1을 나타 내기 위해 R1을 쓸 수 있습니다. 그러면 행 2는 R2가됩니다.
- R과 C의 조합을 사용하여 행렬의 특정 위치를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 두 번째 행, 세 번째 열에있는 용어를 나타내려면 R2C3이라고 부를 수 있습니다.

4 단계 중 2 : 행렬을 사용하여 시스템을 해결하기위한 연산 학습

솔루션 매트릭스의 모양을 이해합니다. 연립 방정식 풀이를 시작하기 전에 행렬로 무엇을 할 것인지 이해해야합니다. 이 시점에서 다음과 같은 행렬이 있습니다.
- 3 1 -1 9
- 2 -2 1 -3
- 1 1 1 7
- 여러 가지 기본 작업을 사용하여 "솔루션 매트릭스"를 만듭니다. 솔루션 매트릭스는 다음과 같습니다.
- 10 배
- 010 y
- 0 0 1 z
- 행렬은 네 번째 열을 제외한 다른 모든 공간에 0이있는 대각선의 1로 구성됩니다. 네 번째 열의 숫자는 변수 x, y 및 z에 대한 해입니다.
스칼라 곱셈을 사용합니다. 행렬을 사용하여 시스템을 풀 수있는 첫 번째 도구는 스칼라 곱셈입니다. 이것은 단순히 행렬의 한 행에있는 요소에 상수 (변수가 아님)를 곱하는 것을 의미하는 용어입니다. 스칼라 곱셈을 사용하는 경우 전체 행의 각 항에 선택한 숫자를 곱해야합니다. 첫 번째 항을 잊고 곱하면 잘못된 해결책을 얻게됩니다. 그러나 전체 행렬을 동시에 곱할 필요는 없습니다. 스칼라 곱셈에서는 한 번에 한 행에서만 작업합니다.
- 스칼라 곱셈에서 분수를 사용하는 것이 일반적입니다. 1로 구성된 대각선 행을 얻기를 원하기 때문입니다. 분수 작업에 익숙해집니다. 또한 (행렬을 푸는 대부분의 단계에서) 분수를 부적절한 형식으로 작성한 다음 최종 솔루션을 위해 다시 대분수로 변환하는 것이 더 쉬울 것입니다. 따라서 숫자 1 2/3는 5/3로 쓰면 작업하기가 더 쉽습니다.
- 예를 들어, 예제 문제의 첫 번째 행 (R1)은 [3,1, -1,9]라는 용어로 시작합니다. 해 행렬은 첫 번째 행의 첫 번째 위치에 1을 포함해야합니다. 3을 1로 "변경"하려면 전체 행에 1/3을 곱할 수 있습니다. 그러면 [1,1 / 3, -1 / 3,3]의 새로운 R1이 생성됩니다.
- 그들이 속한 곳에 부정적인 신호를 남겨 두십시오.
행 더하기 또는 행 빼기를 사용합니다. 두 번째로 사용할 수있는 도구는 행렬의 두 행을 더하거나 빼는 것입니다. 해 행렬에 0 항을 만들려면 0에 도달하기 위해 숫자를 더하거나 빼야합니다. 예를 들어 R1이 행렬 [1,4,3,2]이고 R2가 [1,3,5,8]이면 두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼서 새 행 [0, -1, 2.6], 1-1 = 0 (첫 번째 열), 3-4 = -1 (두 번째 열), 5-3 = 2 (세 번째 열) 및 8-2 = 6 (네 번째 열)이기 때문입니다. 행 더하기 또는 행 빼기를 수행 할 때 시작한 행 대신 새 결과를 다시 작성하십시오. 이 경우 행 2를 추출하고 새 행 [0, -1,2,6]을 삽입합니다.
- 속기 표기법을 사용하고이 작업을 R2-R1 = [0, -1,2,6]로 선언 할 수 있습니다.
- 덧셈과 뺄셈은 동일한 연산의 반대 형태임을 기억하십시오. 두 숫자를 더하거나 그 반대를 빼는 것으로 생각하십시오. 예를 들어 간단한 방정식 3-3 = 0으로 시작하면 이것을 3 + (-3) = 0의 덧셈 문제로 생각할 수 있습니다. 결과는 동일합니다. 이것은 간단 해 보이지만 때로는 어떤 형태로든 문제를 고려하는 것이 더 쉽습니다. 부정적인 신호를 주시하십시오.
단일 단계에서 행 더하기와 스칼라 곱하기를 결합합니다. 항이 항상 일치 할 것으로 기대할 수는 없으므로 간단한 더하기 또는 빼기를 사용하여 행렬에 0을 만들 수 있습니다. 더 자주 다른 행에서 배수를 더하거나 빼야합니다. 이렇게하려면 먼저 스칼라 곱셈을 수행 한 다음 해당 결과를 변경하려는 대상 행에 추가합니다.
- 가정하십시오. [1,1,2,6]의 행 1과 [2,3,1,1]의 행 2가 있습니다. R2의 첫 번째 열에 0 항을 원합니다. 즉, 2를 0으로 변경하려고합니다. 이렇게하려면 2를 빼야합니다. 먼저 행 1에 스칼라 곱하기 2를 곱한 다음 두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼서 2를 얻을 수 있습니다. 간단히 말해서 R2-2 * R1로 적을 수 있습니다. 먼저 R1에 2를 곱하여 [2,2,4,12]를 얻습니다. 그런 다음 R2에서 이것을 빼서 [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]를 얻습니다. 이것을 단순화하면 새 R2는 [0,1, -3, -11]이됩니다.
작업 중에 변경되지 않은 행을 복사하십시오. 행렬에서 작업 할 때 스칼라 곱셈, 행 더하기 또는 행 빼기 또는 단계 조합을 통해 한 번에 단일 행을 변경합니다. 한 행을 변경할 때 행렬의 다른 행을 원래 형식으로 복사해야합니다.
- 한 번의 이동으로 결합 된 곱셈과 더하기 단계를 수행 할 때 일반적인 오류가 발생합니다. 예를 들어, R2에서 R1을 두 번 빼야한다고 가정합니다. 이 단계를 수행하기 위해 R1에 2를 곱할 때 R1은 행렬에서 변경되지 않습니다. R2를 변경하려면 곱하기 만하면됩니다. 먼저 R1을 원래 형식으로 복사 한 다음 R2로 변경합니다.
먼저 위에서 아래로 작업하십시오. 시스템을 해결하기 위해 매우 체계적인 패턴으로 작업하며 본질적으로 한 번에 하나의 행렬 용어를 "해결"합니다. 3 변수 배열의 순서는 다음과 같습니다.
- 1. 첫 번째 행, 첫 번째 열 (R1C1)에서 1을 만드십시오.
- 2. 두 번째 행, 첫 번째 열 (R2C1)에서 0을 만듭니다.
- 3. 두 번째 행, 두 번째 열 (R2C2)에서 1을 만드십시오.
- 4. 세 번째 행의 첫 번째 열 (R3C1)에서 0을 만듭니다.
- 5. 세 번째 행, 두 번째 열 (R3C2)에서 0을 만듭니다.
- 6. 세 번째 행, 세 번째 열 (R3C3)에서 1을 만드십시오.
아래에서 위로 다시 작업하십시오. 이 시점에서 단계를 올바르게 수행 한 경우 솔루션의 중간 정도입니다. 0이 아래에있는 1의 대각선이 있어야합니다. 이 시점에서 네 번째 열의 숫자는 중요하지 않습니다. 이제 다음과 같이 맨 위로 돌아갑니다.
- 두 번째 행, 세 번째 열 (R2C3)에 0을 만듭니다.
- 첫 번째 행, 세 번째 열 (R1C3)에 0을 만듭니다.
- 첫 번째 행, 두 번째 열 (R1C2)에 0을 만듭니다.
솔루션 매트릭스를 작성했는지 확인하십시오. 작업이 정확하면 R1C1, R2C2, R3C3의 대각선에 1이 있고 처음 세 열의 다른 위치에 0이있는 해 행렬을 만들었습니다. 네 번째 열의 숫자는 선형 시스템에 대한 솔루션입니다.

4 단계 중 3 : 은하계 해결 단계 병합

선형 방정식 시스템의 예부터 시작하십시오. 이 단계를 연습하기 위해 앞서 사용한 시스템 인 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3, x + y + z = 7부터 시작하겠습니다. 이것을 행렬에 쓰면 R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3], R3 = [1,1,1,7]이됩니다.
첫 번째 위치 R1C1에 1을 만듭니다. 이 시점에서 R1은 3으로 시작하므로 1로 변경해야합니다. 스칼라 곱셈으로 R1의 4 개 항 모두에 1/3을 곱하면됩니다. 간단히 말해서 R1 * 1/3로 쓸 수 있습니다. R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] 인 경우 R1에 대한 새로운 결과를 제공합니다. R2 = [2, -2,1, -3] 및 R3 = [1,1,1,7] 인 경우 R2 및 R2를 변경하지 않고 복사합니다.
- 곱셈과 나눗셈은 서로의 역함수 일뿐입니다. 결과를 변경하지 않고 1/3로 곱하거나 3으로 나눈다 고 말할 수 있습니다.
두 번째 행의 첫 번째 열 (R2C1)에 0을 만듭니다. 이 시점에서 R2 = [2, -2,1, -3]입니다. 해 행렬에 더 가까워 지려면 첫 번째 항을 2에서 0으로 변경해야합니다. R1이 1로 시작하므로 R1 값의 두 배를 빼서이를 수행 할 수 있습니다. 간단히 말해서 연산 R2- 2 * R1. R1을 변경하지 않고 함께 작업하십시오. 따라서 R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]이면 먼저 R1을 복사합니다. 그런 다음 R1의 각 항을 두 배로하면 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]이됩니다. 마지막으로 원래 R2에서이 결과를 빼서 새 R2를 얻습니다. 용어 별 작업 기간,이 빼기는 (2-2), (-2-2 / 3), (1-(-2/3)), (-3-6)이됩니다. 이를 새로운 R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]로 단순화합니다. 첫 번째 용어는 0입니다 (목표가 무엇이든).
- 변경되지 않은 행 3을 R3 = [1,1,1,7]로 씁니다.
- 부호가 올바른지 확인하기 위해 음수를 뺄 때주의하십시오.
- 이제 먼저 분수를 부적절한 형태로 남겨 둡니다. 이렇게하면 솔루션의 이후 단계가 더 쉬워집니다. 문제의 마지막 단계에서 분수를 단순화 할 수 있습니다.
두 번째 행, 두 번째 열 (R2C2)에 1을 만듭니다. 1의 대각선을 계속 형성하려면 두 번째 항 -8/3을 1로 변환해야합니다. 전체 행에 해당 숫자 (-3/8)의 역수를 곱하면됩니다. 상징적으로이 단계는 R2 * (-3/8)입니다. 결과 두 번째 행은 R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]입니다.
- 행의 왼쪽 절반이 0과 1의 해와 비슷해지기 시작하면 오른쪽 절반이 부적절한 분수로보기 흉해 보일 수 있습니다. 지금은 그대로 두십시오.
- 변경되지 않은 행을 계속 복사하는 것을 잊지 마십시오. 따라서 R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] 및 R3 = [1,1,1,7]입니다.
세 번째 행의 첫 번째 열 (R3C1)에 0을 만듭니다. 이제 포커스가 세 번째 행인 R3 = [1,1,1,7]로 이동합니다. 첫 번째 위치에서 0을 만들려면 현재 해당 위치에있는 1에서 1을 빼야합니다. 위를 보면 R1의 첫 번째 위치에 1이 있습니다. 따라서 필요한 결과를 얻으려면 R3에서 R1을 빼면됩니다. 근무 기간은 (1-1), (1-1 / 3), (1-(-1/3)), (7-3)이됩니다. 이 네 가지 작은 문제를 새로운 R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4]로 단순화 할 수 있습니다.
- R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] 및 R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]을 따라 계속 복사합니다. 한 번에 한 행만 변경한다는 것을 기억하십시오.
세 번째 행, 두 번째 열 (R3C2)에서 0을 만듭니다. 이 값은 현재 2/3이지만 0으로 변환해야합니다. 언뜻보기에는 R1의 해당 열에 1/3이 포함되어 있으므로 R1 값을 두 배로 뺄 수있는 것처럼 보입니다. 그러나 R1의 모든 값을 두 배로 빼면 R3의 첫 번째 열에있는 0이 변경되므로 원하지 않습니다. 이것은 솔루션에서 한 걸음 뒤로 물러날 것입니다. 따라서 R2의 일부 조합으로 작업해야합니다. R2에서 2/3을 빼면 첫 번째 열을 변경하지 않고 두 번째 열에 0이 생성됩니다. 간단히 말해서 이것은 R3-2 / 3 * R2입니다. 개별 용어는 (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3-(-5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3)이됩니다. . 그런 다음 단순화하면 R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24]가됩니다.
세 번째 행, 세 번째 열 (R3C3)에 1을 만듭니다. 이것은 그것이 말하는 숫자의 역수에 의한 단순한 곱셈입니다. 현재 값은 42/24이므로 24/42를 곱하여 원하는 값을 얻을 수 있습니다. 처음 두 항은 모두 0이므로 모든 곱셈은 0으로 유지됩니다. R3의 새 값 = [0,0,1,1].
- 이전 단계에서 매우 복잡해 보였던 분수가 이미 해결되기 시작했습니다.
- R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] 및 R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]로 계속합니다.
- 이 시점에서 솔루션 행렬의 대각선은 1입니다. 솔루션을 찾기 위해 행렬의 세 요소를 0으로 변환하기 만하면됩니다.
두 번째 행, 세 번째 열에 0을 만듭니다. R2는 현재 [0.1, -5 / 8.27 / 8]이며 세 번째 열의 값은 -5/8입니다. 0으로 변환해야합니다. 이는 5/8을 더하는 것으로 구성된 R3로 일부 작업을 수행해야 함을 의미합니다. R3의 해당 세 번째 열이 1이므로 R3의 모든 값에 5/8을 곱하고 결과를 R2에 더해야합니다. 요컨대 이것은 R2 + 5/8 * R3입니다. 항의 항은 R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5/8 + 5/8), (27/8 + 5/8)입니다. 이것은 R2 = [0,1,0,4]로 단순화 할 수 있습니다.
- 그런 다음 R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] 및 R3 = [0,0,1,1]을 복사합니다.
첫 번째 행, 세 번째 열 (R1C3)에 0을 만듭니다. 첫 번째 행은 현재 R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]입니다. R3의 일부 조합을 사용하여 세 번째 열의 -1/3을 0으로 변환해야합니다. R2의 두 번째 열에있는 1이 R1을 잘못된 방식으로 변경하므로 R2를 사용하고 싶지 않습니다. 따라서 R3 * 1/3을 곱하고 그 결과를 R1에 더합니다. 이에 대한 표기법은 R1 + 1/3 * R3입니다. 용어 정교화에 대한 용어는 R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1/3 + 1/3), (3 + 1/3)이됩니다. 이것을 새로운 R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3]로 단순화 할 수 있습니다.
- 변경되지 않은 R2 = [0,1,0,4] 및 R3 = [0,0,1,1]을 복사합니다.
첫 번째 행, 두 번째 열 (R1C2)에 0을 만듭니다. 모든 것이 올바르게 완료되면 이것이 마지막 단계입니다. 두 번째 열의 1/3을 0으로 변환해야합니다. R2 * 1/3을 곱하고 빼서 이것을 얻을 수 있습니다. 간단히 말해서 이것은 R1-1 / 3 * R2입니다. 결과는 R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3)입니다. 그런 다음 단순화하면 R1 = [1,0,0,2]가됩니다.
솔루션 매트릭스를 검색합니다. 이 시점에서 모든 것이 순조롭게 진행 되었다면 R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] 및 R3 = [0,0,1,1]의 세 행을 갖게됩니다. 있어야합니다. 행이 서로 위에있는 블록 행렬 형식으로 이것을 작성하면 대각선 1과 0이 더 있고 솔루션이 네 번째 열에 있습니다. 솔루션 매트릭스는 다음과 같아야합니다.
- 1 0 0 2
- 0 1 0 4
- 0 0 1 1
솔루션 이해. 선형 방정식을 행렬로 변환 한 후 첫 번째 열에 x 계수, 두 번째 열에 y 계수, 세 번째 열에 z 계수를 넣습니다. 행렬을 다시 방정식으로 다시 쓰려면 행렬의이 세 줄은 실제로 3 개의 방정식 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4, 0x + 0y + 1z = 1을 의미합니다. 0 항을 지우고 1 개의 계수를 쓸 필요가 없기 때문에이 세 방정식은 x = 2, y = 4, z = 1의 해를 단순화합니다. 이것은 선형 연립 방정식의 해답입니다.

4/4 부 : 솔루션 확인

각 방정식의 각 변수에 해를 포함합니다. 솔루션이 실제로 올바른지 항상 확인하는 것이 좋습니다. 원래 방정식에서 결과를 테스트하여이를 수행합니다.
- 이 문제에 대한 원래 방정식은 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3, x + y + z = 7입니다. 변수를 찾은 값으로 바꾸면 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 및 2 + 4 + 1 = 7이됩니다.
비교를 단순화하십시오. 작업의 기본 규칙에 따라 각 방정식의 작업을 수행하십시오. 첫 번째 방정식은 6 + 4-1 = 9 또는 9 = 9로 단순화됩니다. 두 번째 방정식은 4-8 + 1 = -3 또는 -3 = -3으로 단순화 할 수 있습니다. 마지막 방정식은 간단히 7 = 7입니다.
- 모든 방정식이 실제 수학 진술로 단순화되므로 솔루션이 정확합니다. 해결 방법 중 잘못된 것이 있으면 작업을 다시 확인하고 오류를 찾으십시오. 도중에 빼기 기호를 제거하거나 분수의 곱셈과 덧셈을 혼동 할 때 몇 가지 일반적인 실수가 발생합니다.
최종 솔루션을 작성하십시오. 이 주어진 문제에 대해 최종 솔루션은 x = 2, y = 4 및 z = 1입니다.