2 차 방정식을 요인으로 분석 - 팁

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수학에서 요인 분석 주어진 숫자 나 방정식의 곱으로 숫자 나 표현을 찾는 것입니다. 요인 분석은 기본적인 대수 문제를 해결하는 데 유용한 기술입니다. 숙련 된 인수 분해 능력은 작업에있어서 거의 중요합니다. 대수 방정식 또는 기타 다항식으로. 요인 분석을 사용하여 대수식을 줄여 문제를 더 간단하게 만들 수 있습니다. 덕분에 손으로 해결하는 것보다 훨씬 빠르게 특정 가능한 답을 제거 할 수도 있습니다.

단계

3 가지 방법 중 1 : 숫자와 기본 대수 표현을 요인으로 분석

단일 숫자에 적용 할 때 요인 분석의 정의를 이해합니다. 개념적으로는 간단하지만 실제로 복잡한 방정식을 적용하는 것은 매우 어려울 수 있습니다. 따라서 가장 쉬운 요인 분석 개념적 접근 방식은 단일 숫자에서 시작한 다음 고급 응용 프로그램을 진행하기 전에 간단한 방정식으로 이동하는 것입니다. 인자 주어진 숫자에 대해 동일한 숫자의 곱을 가진 숫자입니다. 예를 들어 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4는 모두 12와 같으므로 1, 12, 2, 6, 3, 4는 12의 인수입니다.
- 즉, 주어진 숫자의 요소는 숫자입니다. 분단되어있다 그 숫자로.
- 60의 전체 요소를 찾을 수 있습니까? 숫자 60은 여러 숫자로 나눌 수 있기 때문에 다양한 용도 (1 시간 분, 1 분 초 등)로 사용됩니다.
  - 숫자 60에는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 및 60과 같은 요소가 있습니다.
변수를 포함하는 표현식도 분해 할 수 있음을 이해하십시오. 독립적 인 숫자뿐만 아니라 산술 계수가있는 변수도 분해 할 수 있습니다. 이렇게하려면 변수 계수의 요인을 찾아야합니다. 분석을 인수 분해하는 방법을 아는 것은 변수를 포함하는 간단한 대수 방정식 변환에 매우 유용합니다.
- 예를 들어 12x는 12와 x의 결과로 다시 작성할 수 있습니다. 12x를 3 (4x), 2 (6x) 등으로 작성하고 12의 용도에 가장 적합한 요소를 사용할 수 있습니다.
  - 12 배까지 분석 할 수도 있습니다. 여러 번. 즉, 3 (4x) 또는 2 (6x)에서 멈출 필요가 없습니다. 4x와 6x를 분석하여 각각 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)))을 얻을 수 있습니다. 이 공식은 동일합니다.
곱셈의 연관 속성을 적용하여 대수 방정식을 분해합니다. 독립적 인 숫자와 계수를 요인으로 분석하는 지식을 사용하면 방정식에 포함 된 숫자와 변수의 공통 요인을 찾아 간단한 대수 방정식을 단순화 할 수 있습니다. 종종 방정식이 최대한 단순 해 지도록 최대 공약수를 찾으려고 노력할 것입니다. 이 간단한 변환은 곱셈의 연관성 덕분에 가능합니다. 모든 숫자 a, b, c에 대해 다음과 같이됩니다. a (b + c) = ab + ac.
- 다음 예제 문제를 고려해 봅시다. 대수 방정식 12x + 6을 인수로 분해하려면 먼저 12x와 6의 최대 공약수를 찾습니다. 6은 12x와 6을 모두 나눌 수있는 가장 큰 숫자이므로 간단히 변환 할 수 있습니다. 방정식을 6 (2x + 1)으로 줄입니다.
- 음의 부호와 분수가있는 방정식에도 동일한 과정이 적용됩니다. 예를 들어 x / 2 + 4는 간단히 1/2 (x + 8)로 변환 할 수 있고 -7x + -21은 -7 (x + 3)로 분해 할 수 있습니다.
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방법 2/3 : 2 차 방정식을 요인으로 분석

방정식이 2 차 형식 (ax + bx + c = 0)인지 확인합니다. 2 차 방정식의 형식은 ax + bx + c = 0입니다. 여기서 a, b, c는 상수이고 a는 0이 아닙니다 (a 할 수있다 1 또는 -1과 같음). 변수가 하나 인 (x) 방정식에 x의 제곱을 포함하는 항이 하나 이상 포함되어있는 경우 일반적으로 등호의 한쪽에있는 기본 대수 연산자를 0으로 변환하고 ax 등으로 할 수 있습니다. 다른쪽에.
- 예를 들어, 대수 방정식 5x + 7x-9 = 4x + x-18은 2 차 형식 인 x + 6x + 9 = 0으로 줄일 수 있습니다.
- x가 x, x 등과 같이 더 높은 지수를 갖는 방정식. 2 차가 될 수 없습니다. x의 3 승 이상을 포함하는 항을 제거하여 방정식을 줄일 수없는 경우는 2 차, 4 차입니다.
2 차 방정식을 사용하면 a = 1이면 (x + d) (x + e)로 분해됩니다. 여기서 d × e = c 및 d + e = b입니다. 2 차 방정식이 x + bx + c = 0 (즉, x = 1의 계수 인 경우) 형식이면 비교적 빠른 계산을 사용할 수있을 가능성이 있습니다 (확실하지 않음). 이 방정식을 고려하는 것은 간단합니다. c와 같은 두 수 찾기 과 합계는 b와 같습니다. d와 e를 찾으면 다음 표현식으로 바꿉니다. (x + d) (x + e). 이 두 요소를 함께 곱하면 위의 2 차 방정식이됩니다. 즉, 방정식의 요소입니다.
- 예를 들어 2 차 방정식 x + 5x + 6 = 0을 보겠습니다. 3과 2는 6의 곱을 가지고 동시에 총 5를 갖습니다. 따라서 방정식을 간단히 (x + 3) ( x + 2).
- 이 기본적인 빠른 수정은 방정식 자체가 약간 다를 때 약간 다릅니다.
  - 이차 방정식이 x-bx + c 형식이면 답은 (x-_) (x-_) 형식이됩니다.
  - x + bx + c 형식이면 답은 다음과 같습니다. (x + _) (x + _).
  - x-bx-c에있는 경우 응답은 (x + _) (x-_) 형식입니다.
- 참고 : 공백은 분수 또는 소수 일 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 x + (21/2) x + 5 = 0은 (x + 10) (x + 1/2)로 분해됩니다.
가능하면 테스트를 통해 요인 분석을 수행하십시오. 믿거 나 말거나, 복잡하지 않은 이차 방정식을 사용하여 인수 분해의 허용되는 방법 중 하나는 단순히 문제를 살펴본 다음 가능한 모든 답을 평가하는 것입니다. 정답입니다. 테스트 방법이라고도합니다.방정식의 형식이 ax + bx + c이고 a> 1이면 분해는 (dx +/- _) (예 : +/- _)의 형식을 갖게됩니다. 여기서 d와 e는 상수입니다. 다른 하나는 a와 같지 않습니다. d 또는 e (또는 둘 다) 할 수있다 반드시 그럴 필요는 없지만 1과 같습니다. 둘 다 1이면 기본적으로 위에 표시된 빠른 작업을 사용했을 것입니다.
- 다음 예제 문제를 고려하십시오. 언뜻보기에 3x-8x + 4는 꽤 위협적인 것처럼 보입니다. 그러나 3에 두 가지 요소 (3과 1) 만 있다는 것을 알게되면 답이 (3x +/- _) (x +/- _) 형식이어야한다는 것을 알기 때문에 문제가 더 쉬워집니다. 이 경우 두 공백에 -2를 입력하면 정답이됩니다. -2 × 3x = -6x 및 -2 × x = -2x. -6x 및 -2x 합계는 -8x와 같습니다. -2 × -2 = 4, 따라서 괄호 안에 파싱 된 요소가 우리에게 초기 방정식을 제공함을 알 수 있습니다.
사각형을 완성하여 문제를 해결하십시오. 어떤 경우에는 특별한 대수적 동일성을 사용하여 2 차 방정식을 빠르고 쉽게 곱할 수 있습니다. x + 2xh + h = (x + h) 형식의 모든 2 차 방정식. 따라서 방정식에서 b가 c의 제곱근의 두 배이면 방정식은 (x + (sqrt (c)))로 분해 될 수 있습니다.
- 예를 들어 방정식 x + 6x + 9는이 형식에서 작동합니다. 3은 9이고 3 x 2는 6과 같습니다. 따라서이 방정식의 인수 분해 형태는 (x + 3) (x + 3) 또는 (x + 3)입니다.
요인을 사용하여 2 차 방정식을 풉니 다. 어느 쪽이든, 2 차 표현식이 인수 분해되면 각 인수를 0으로 지정하고 해결하여 x 값에 대한 가능한 답을 찾을 수 있습니다. 방정식이 0이되도록 x의 값을 찾고 있으므로 계수를 0으로 만드는 x는 해당 방정식에 대한 가능한 솔루션이 될 것입니다.
- 방정식 x + 5x + 6 = 0으로 돌아가십시오. 이것은 (x + 3) (x + 2) = 0으로 분해됩니다. 한 요소가 0이면 전체 방정식은 0이됩니다. x의 가능한 해는 (x + 3) 및 (x + 2)를 각각 0, -3 및 -2로 만드는 숫자입니다.
답을 확인하십시오-일부는 이국적 일 수 있습니다! x의 가능한 해를 찾으면 원래 방정식으로 대체하여 올바른지 확인하십시오. 때로는 답이 찾아 문제 없어요 대체 될 때 원래 방정식이 0이되도록합니다. 우리는 이러한 솔루션을 이국적인 그들을 제거하십시오.
- -2와 -3을 x + 5x + 6 = 0으로 바꿔 봅시다. 먼저 -2 :
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. 예, 따라서 -2는 방정식의 유효한 해입니다.
- 이제 -3으로 시도해 보겠습니다.
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. 이것은 또한 사실이므로 -3도 방정식의 유효한 해입니다.
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3 가지 방법 중 3 : 다른 유형의 방정식을 요인으로 분석

방정식이 a-b 형식이면 (a + b) (a-b)로 분해합니다. 2 변수 방정식은 기본 2 차 방정식과 다르게 분석됩니다. a와 b가 0이 아닌 a-b 방정식은 (a + b) (a-b)로 분해됩니다.
- 예를 들어, 방정식 9x-4y = (3x + 2y) (3x-2y).
방정식이 a + 2ab + b 형식이면 (a + b)로 분해합니다. 삼항식이 a 형식이면-2ab + b, 인수 분해 형식은 (a-b) 약간 다릅니다.
- 방정식 4x + 8xy + 4y는 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y로 다시 쓸 수 있습니다. 이제 우리는 그것이 올바른 형태임을 확인하고이 방정식의 분해 형태가 (2x + 2y)라고 자신있게 말할 수 있습니다.
방정식이 a-b 형식이면 (a-b) (a + ab + b)로 분해합니다. 마지막으로, 삼항 방정식과 더 높은 차수 방정식을 분해 할 수 있습니다. 그러나 분석 프로세스는 금방 엄청나게 복잡해질 것입니다.
- 예를 들어, 8x-27y는 (2x-3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)로 분해됩니다.
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조언

a-b는 인수 분해 할 수 있지만 a + b는 인수 분해 할 수 없습니다.
상수를 인수 분해하는 방법을 염두에 두십시오. 도움이 될 수 있습니다.
분해 과정에서 분수에주의를 기울이고 정확하고 적절하게 처리합니다.
x + bx + (b / 2) 트라이던트를 사용하면 인수 분해는 (x + (b / 2))가됩니다 (정사각형을 완성하는 동안이 상황을 만날 수 있습니다).
a0 = 0 (특성에 0을 곱한 값)을 기억하십시오.