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수학자 또는 그래픽 프로그래머라면 주어진 두 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 것입니다. 이 기사에서 wikiHow는이를 수행하는 방법을 보여줍니다.

단계

2 단계 중 1 : 두 벡터 사이의 각도 찾기

1. 

   벡터 정의. 가지고있는 두 벡터에 대한 모든 정보를 기록하십시오. 치수 좌표 (구성 요소라고도 함)의 지정된 매개 변수 만 있다고 가정합니다. 벡터의 길이 (크기)를 이미 알고있는 경우 아래 단계 중 일부를 건너 뛸 수 있습니다.
   • 예 : 2 차원 벡터 = (2,2) 및 2 차원 벡터 = (0,3). = 2로 쓸 수도 있습니다.나는 + 2제이 및 = 0나는 + 3제이 = 3제이.
   • 이 문서의 예제에서는 2 차원 벡터가 사용되지만 다음 지침은 모든 차원의 벡터에 적용 할 수 있습니다.

2. 

   
   
   코사인 공식을 적으십시오. 두 벡터 사이의 각도 θ를 찾기 위해 해당 각도에 대한 코사인을 찾는 공식으로 시작합니다. 이 공식에 대해 아래에서 배우거나 다음과 같이 적어 둘 수 있습니다.
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| "벡터의 길이"를 의미합니다.
   • • 두 벡터의 스칼라 곱입니다. 이에 대해서는 아래에서 설명합니다.

3. 

   
   
   각 벡터의 길이를 계산합니다. 직각 삼각형이 벡터의 x, y 구성 요소와 벡터 자체로 구성되어 있다고 상상해보십시오. 벡터는 삼각형의 빗변을 형성하므로 길이를 찾기 위해 피타고라스 정리를 사용합니다. 사실,이 공식은 모든 차원의 벡터로 쉽게 확장 될 수 있습니다.
   • || u || = u₁ + u₂. 벡터에 두 개 이상의 요소가있는 경우 + u를 계속 추가하면됩니다.₃ + u₄ +...
   • 따라서 2 차원 벡터의 경우 || u || = √ (u₁ + u₂).
   • 이 예에서 |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   두 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다. 아마도 당신은 벡터 곱셈의 방법을 배웠을 것입니다. 스칼라 이. 구성과 관련된 스칼라 곱을 계산하려면 각 방향의 성분을 곱한 다음 전체 결과를 더하십시오.
   • 그래픽 프로그램에 대해서는 더 읽기 전에 팁을 참조하십시오.
   • 수학에서 • = u₁V₁ + u₂V₂, 여기서 u = (u₁, u₂). 벡터에 두 개 이상의 요소가 있으면 간단히 + u를 추가합니다.₃V₃ + u₄V₄...
   • 이 예에서 • = u₁V₁ + u₂V₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. 이것은 벡터와 벡터의 스칼라 곱입니다.

5. 

   결과를 공식에 넣으십시오. cosθ = (•) / (|||| || ||)를 기억하십시오. 이제 우리는 스칼라 곱과 각 벡터의 길이를 모두 알고 있습니다. 각도의 코사인을 계산하려면 공식에 입력하십시오.
   • 이 예에서 cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   코사인을 기준으로 각도를 찾으십시오. 계산기에서 arccos 또는 cos 함수를 사용하여 알려진 cos 값에서 θ를 찾을 수 있습니다. 일부 결과로 단위 원을 기준으로 각도를 찾을 수 있습니다.
   • 예에서 cosθ = √2 / 2. 계산기에 "arccos (√2 ​​/ 2)"를 입력하여 각도를 찾습니다. 또는 cosθ = √2 / 2 위치에서 단위 원의 각도 θ를 찾을 수 있습니다. θ = /₄ 또는 45º.
   • 모든 것을 결합하면 최종 공식은 다음과 같습니다. 각도 θ = 아크 코사인 ((•) / (|||| || ||))
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2/2 부 : 각도 공식 결정

1. 

   공식의 목적을 이해하십시오. 이 공식은 기존 규칙에서 파생 된 것이 아닙니다. 대신 스칼라 곱의 정의와 두 벡터 사이의 각도로 형성됩니다. 그럼에도 불구하고 그것은 자의적인 결정이 아니었다. 기본 기하학으로 돌아 가면이 공식이 직관적이고 유용한 정의를 제공하는 이유를 이해할 수 있습니다.
   • 아래 예제는 이해하기 쉽고 가장 단순하기 때문에 2 차원 벡터를 사용합니다. 3 차원 이상의 벡터는 거의 유사한 일반 공식으로 정의 된 속성을 갖습니다.

2. 

   코사인 정리를 검토합니다. 변 a와 b 사이의 각도가 θ이고 반대쪽 c의 일반적인 삼각형을 고려하십시오. 코사인 정리에 따르면 c = a + b -2ab코사인(θ). 이 결과는 기본 지오메트리에서 아주 간단하게 그려집니다.

3. 

   두 벡터를 연결하여 삼각형을 만듭니다. 종이, 벡터 및 벡터에 한 쌍의 2 차원 벡터를 그립니다. θ는 그 사이의 각도입니다. 이 둘 사이에 세 번째 벡터를 그려 삼각형을 만듭니다. 즉, + =와 같은 벡터를 그립니다. 벡터 =-.

4. 

   이 삼각형에 대한 코사인 정리를 작성하십시오. "벡터 삼각형"의 변 길이를 코사인 정리로 대체합니다.
   • || (a-b) || = || a || + || b || -2 || a || || b ||코사인(θ)

5. 

   스칼라 곱으로 다시 씁니다. 스칼라 곱은 하나의 벡터가 다른 벡터의 이미지라는 것을 기억하십시오. 벡터 자체의 스칼라 곱은 투영이 필요하지 않습니다. 여기에는 방향 차이가 없기 때문입니다. 이는 • = || a ||를 의미합니다. 이것을 사용하여 방정식을 다시 작성합니다.
   • (-) • (-) = • + •-2 || a || || b ||코사인(θ)

6. 

   동일한 수식을 성공적으로 다시 작성했습니다. 공식의 왼쪽을 확장 한 다음 단순화하여 각도를 찾는 데 사용되는 공식을 얻습니다.
   • •-•-• + • = • + •-2 || a || || b ||코사인(θ)
   • -•-• = -2 || a || || b ||코사인(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||코사인(θ)
   • • = || a || || b ||코사인(θ)
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조언

• 값을 변경하고 문제를 신속하게 해결하려면 2 차원 벡터 쌍에 대해 다음 공식을 사용하십시오. cosθ = (u₁ • V₁ + u₂ • V₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • V₂)).
• 컴퓨터 그래픽 소프트웨어로 작업하는 경우 길이에 대한 걱정없이 벡터의 크기 만 걱정하면됩니다. 방정식을 줄이고 프로그램 속도를 높이려면 다음 단계를 사용하십시오.
  • 각 벡터가 1이되도록 정규화합니다. 이렇게하려면 벡터의 각 구성 요소를 길이로 나눕니다.
  • 원래 벡터 대신 스칼라의 정규화 된 곱을 가져옵니다.
  • 길이가 1이므로 방정식에서 길이 요소를 제외 할 수 있습니다. 마지막으로 얻은 각도 방정식은 arccos (•)입니다.
• 코사인 공식을 기반으로 각도가 예각인지 둔각인지 신속하게 확인할 수 있습니다. cosθ = (•) / (|||| ||||)로 시작 :
  • 방정식의 왼쪽과 오른쪽은 같은 부호 (양수 또는 음수)를 가져야합니다.
  • 길이는 항상 양수이므로 cosθ는 스칼라 곱과 동일한 부호를 가져야합니다.
  • 따라서 제품이 양수이면 cosθ도 양수입니다. 우리는 θ <π / 2 또는 90º로 단위 원의 1 사분면에 있습니다. 찾을 각도는 날카로운 각도입니다.
  • 스칼라 곱이 음수이면 cosθ는 음수입니다. 우리는 π / 2 <θ ≤ π 또는 90º <θ ≤ 180º 인 단위 원의 2 사분면에 있습니다. 그것이 감옥 구석입니다.