3x3 행렬의 역수 구하기 - 팁

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역전은 종종 미적분학에서 문제가되는 문제를 다른 방식으로 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 분수를 그 숫자로 직접 나누는 것보다 분수의 역수로 곱하는 것이 더 쉽습니다. 이것은 반대입니다. 마찬가지로 행렬에 분수 기호가 없기 때문에 역행렬을 곱해야합니다. 3x3 행렬의 역행렬을 계산하는 것은 매우 지루할 수 있지만 고려할 가치가있는 문제입니다. 고급 그래프 계산기를 사용하여이 작업을 수행 할 수도 있습니다.

단계

방법 1/3 : 역행렬 찾기를위한 추가 행렬 만들기

행렬의 행렬식을 확인하십시오. 첫 번째 단계 : 행렬의 행렬식 찾기. 행렬식이 0이면 완료된 것입니다.이 행렬은 되돌릴 수 없습니다. 행렬 M의 행렬식은 det (M)로 표시 될 수 있습니다.
- 3x3 행렬의 역행렬을 찾으려면 먼저 행렬식을 계산해야합니다.
- 행렬의 행렬식을 찾는 방법을 검토하려면 3x3 행렬 행렬식 찾기 문서를 참조하세요.
원래 행렬 전치. 조옮김은 주 대각선을 가로 질러 행렬을 반사하는 것, 즉 요소 (i, j)와 요소 (j, i)를 서로 바꾸는 것을 의미합니다. 행렬의 요소를 전치 할 때 주 대각선 (왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는)은 일정하게 유지됩니다.
- 조옮김을 이해하는 또 다른 방법은 행렬을 다시 작성하여 첫 번째 행이 첫 번째 열이되고 중간 행이 중간 열이되고 세 번째 행이 세 번째 열이되도록하는 것입니다. 위 그림의 색상 요소를 기록하고 숫자의 새로운 위치를 확인하십시오.
각 2x2 부분 행렬의 행렬식을 찾습니다. 새로운 3x3 변위 행렬의 모든 요소는 해당하는 2x2 '서브'행렬에 연결됩니다. 각 요소의 하위 행렬을 찾으려면 먼저 첫 번째 요소의 행과 열을 강조 표시하십시오. 5 개 요소가 모두 강조 표시됩니다. 나머지 4 개 요소는 하위 행렬을 형성합니다.
- 위의 예에서 2 행 1 열에있는 요소의 부분 행렬을 찾으려면 두 번째 행과 첫 번째 열에서 5 개의 단어 부분을 강조 표시합니다. 나머지 4 개 요소는 해당 부분 행렬입니다.
- 위의 그림과 같이 대각선으로 곱하고 서로 두 제품을 빼서 각 부분 행렬의 행렬식을 찾습니다.
- 부분 행렬과 그 용도에 대해 자세히 알아 보려면 자세히 읽어보십시오.
대수 하위 섹션의 행렬을 만듭니다. 이전 단계에서 얻은 결과를 원래 행렬의 해당 위치에 각 하위 행렬 행렬식을 배치하여 대수 하위 섹션으로 구성된 새 행렬에 배치합니다. 따라서 원래 행렬의 요소 (1,1)에서 계산 된 행렬식은 위치 (1,1)에 배치됩니다. 다음으로 위의 그림에 표시된 참조 테이블에 따라이 새 행렬의 대체 부호를 변경해야합니다.
- 기호를 결정할 때 선두의 첫 번째 분자의 표시가 유지됩니다. 두 번째 요소의 부호가 반전됩니다. 세 번째 요소의 부호는 유지됩니다. 나머지 매트릭스에 대해 그렇게 계속하십시오. 참조 차트의 기호 (+) 또는 (-)는 끝까지 요소가 양수 또는 음수 기호를 가지고 있음을 나타내지 않습니다. 요소가 그대로 (+) 유지되거나 (-)로 변경된다는 것만 표시합니다.
- 대수 부속물에 대한 자세한 내용은 매트릭스 기본 사항을 참조하십시오.
- 이 단계에서 얻은 최종 결과는 원래 행렬의 보완 행렬입니다. 때로는 켤레 행렬이라고도하며 Adj (M)로 표시됩니다.
보수 행렬의 모든 요소를 행렬식으로 나눕니다. 첫 번째 단계에서 계산 한 행렬 M의 행렬식을 사용합니다 (행렬이 가역적인지 확인하기 위해). 이제 행렬의 모든 요소를이 값으로 나눕니다. 각 분할의 몫을 원래 요소의 위치에 넣고 원래 행렬의 역행렬을 얻습니다.
- 그림에 제시된 샘플 행렬의 행렬식은 1입니다. 따라서 상보 행렬의 모든 요소를 행렬식으로 나눌 때 자체를 얻습니다 (항상 운이 좋지는 않습니다). .
- 나누는 대신 일부 문서에서는이 단계를 M의 모든 요소에 1 / det (M)을 곱하는 것으로 설명합니다. 수학적으로는 동등합니다.
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방법 2/3 : 선형 행을 줄여 역행렬 찾기

원래 행렬에 단위 행렬을 추가합니다. 기본 행렬 M을 쓰고 해당 행렬의 오른쪽에 수직선을 그린 다음이 선의 오른쪽에 단위 행렬을 씁니다. 이 시점에서 3 개의 행과 6 개의 열이있는 행렬이 있습니다.
- 단위 행렬은 주 대각선의 모든 요소가 왼쪽 상단 모서리에서 오른쪽 하단 모서리까지 1과 같고 나머지 위치의 모든 요소가 0과 같은 특수 행렬이라는 것을 기억하십시오.
선형 행 감소를 수행합니다. 여기서 목표는 새로 확장 된 행렬의 왼쪽 부분에 단위 행렬을 만드는 것입니다. 왼쪽에서 행 축소 단계를 수행 할 때 오른쪽에서 해당 부분, 즉 단위 행렬 인 부분을 수행해야합니다.
- 행 감소는 행렬의 개별 요소를 분리하기 위해 스칼라 곱셈과 행 더하기 또는 빼기의 조합으로 수행됩니다.
단위 행렬이 형성 될 때까지 계속하십시오. 확장 행렬의 왼쪽 부분에 단위 행렬이 나타날 때까지 선형 축소를 계속합니다 (대각선의 요소는 1, 다른 요소는 0). 이 단계에 도달하면 수직 분할기의 오른쪽 부분이 원래 행렬의 역행렬입니다.
역행렬을 다시 씁니다. 현재 수직 분할기의 오른쪽 부분에있는 요소를 복제하면 역행렬이됩니다. 광고

3 가지 방법 중 3 : 포켓 계산기로 역행렬 찾기

행렬을 풀 수있는 계산기를 선택하십시오. 간단한 4 함수 계산기로는 역행렬을 직접 찾을 수 없습니다. 그러나 수학적 반복으로 인해 Texas Instruments TI-83 또는 TI-86과 같은 고급 그래프 계산기를 사용하면 수행 할 작업을 크게 줄일 수 있습니다.
계산기에 행렬을 입력합니다. 먼저 장치에서 사용할 수있는 경우 Matrix 키를 눌러 계산기의 Matrix 기능으로 들어갑니다. Texas Instruments 기계를 사용하면 2 Matrix를 눌러야합니다.
편집 하위 메뉴를 선택합니다. 이 하위 메뉴에 액세스하려면 디자인에 따라 화살표 버튼을 사용하거나 컴퓨터 키보드의 맨 윗줄에있는 적절한 기능 키를 선택해야 할 수 있습니다.
매트릭스의 이름을 선택하십시오. 대부분의 계산기는 3 ~ 10 개의 행렬, 문자 이름, A부터 J까지 작동하도록 장착되어 있습니다. 일반적으로 시작해 보겠습니다. Enter 키를 눌러 이름 선택을 확인합니다.
매트릭스 크기를 입력하십시오. 이 기사는 3x3 행렬에 중점을 둡니다. 그러나 소형 계산기는 더 큰 행렬을 처리 할 수 있습니다. 행 수를 입력하고 Enter를 누른 다음 열 번호를 입력하고 Enter를 누릅니다.
행렬의 각 요소를 입력하십시오. 컴퓨터 화면에 매트릭스가 표시됩니다. 이전에 매트릭스 기능으로 작업 한 적이있는 경우 이전에 작업 한 매트릭스가 화면에 나타납니다. 커서는 행렬의 첫 번째 요소를 표시합니다. 풀고 자하는 행렬 값을 입력하고 Enter를 누르십시오. 커서는 자동으로 다음 요소로 이동하여 이전 값을 덮어 씁니다.
- 음수를 입력하려면 마이너스 키가 아닌 계산기의 음수 (-) 버튼을 사용하십시오. 행렬 함수가 올바르게 읽히지 않습니다.
- 필요한 경우 계산기의 화살표 키를 사용하여 행렬을 이동할 수 있습니다.
매트릭스 기능을 종료합니다. 전체 매트릭스 값을 입력 한 후 Quit-Exit 키 (또는 필요한 경우 2 Quit)를 누릅니다. 덕분에 매트릭스 기능을 종료하고 계산기의 기본 디스플레이 화면으로 돌아갑니다.
역행렬을 찾으려면 역키를 사용하십시오. 먼저 Matrix 함수를 다시 열고 Names 버튼을 사용하여 매트릭스에 제공하는 데 사용한 매트릭스 이름을 선택하십시오 (일 수 있음). 다음으로 계산기의 역키를 누릅니다. 장치에 따라 버튼 2를 사용해야 할 수도 있습니다. 디스플레이 화면이 나타납니다. Enter를 누르면 역행렬이 화면에 나타납니다.
- 개별 클릭으로 A ^ -1을 입력하려고 할 때 컴퓨터의 ^ 버튼을 사용하지 마십시오. 컴퓨터는이 수학을 이해하지 못합니다.
- 반전 키를 누를 때 오류 메시지가 표시되면 상위 행렬이 되돌릴 수 없을 가능성이 큽니다. 다시 돌아가서 그것이 오류의 원인인지 정 성적으로 판단해야 할 수도 있습니다.
역행렬을 정답으로 변환합니다. 컴퓨터에서 반환 된 첫 번째 결과는 10 진수로 표시됩니다. 대부분의 목적에서 이것이 반드시 "정답"인 것은 아닙니다. 필요한 경우이 십진수 답을 분수로 변환해야합니다 (운이 좋으면 모든 결과가 정수이지만 매우 드뭅니다).
- 계산기에 소수를 분수로 자동 변환하는 기능이있을 수 있습니다. 예를 들어 TI-86을 사용하는 경우 Math 기능으로 이동하여 Misc, Frac을 차례로 선택한 다음 Enter 키를 누를 수 있습니다. 소수는 자동으로 분수로 표시됩니다.
대부분의 그래프 계산기에는 행렬 함수를 사용하지 않고 행렬을 입력 할 수있는 대괄호 (TI-84의 경우 2nd + x 및 2nd +-)가 있습니다. 참고 : 계산기는 Enter / Equal 키를 사용할 때까지 행렬의 형식을 지정하지 않을 수 있습니다 (즉, 모든 것이 같은 행에 있고 좋지 않음을 의미합니다). 광고

조언

다음 단계에 따라 숫자뿐만 아니라 변수, 미지수 또는 대수 표현식도 포함하는 역행렬을 찾을 수 있습니다.
수학만으로 3x3 행렬의 역을 찾는 것은 매우 어렵 기 때문에 모든 단계를 기록하십시오.
최대 30x30 행렬을 포함하여 역행렬을 찾는 데 도움이되는 계산기 프로그램이 있습니다.
사용 된 방법에 관계없이 M에 M을 곱하여 결과의 정확성을 확인합니다. M * M = M * M = I임을 확인할 수 있습니다. 여기서 I는 단위 행렬입니다. 는 주 대각선을 따라 위치한 요소 1과 다른 곳에서는 0으로 구성됩니다. 그러한 결과를 얻지 못했다면 어딘가에서 잘못되었을 것입니다.