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• 단계로

삼각 방정식은 가변 삼각 곡선 x의 삼각 함수가 하나 이상있는 방정식입니다. x를 구한다는 것은 삼각 함수로 인해 삼각 방정식이 참이되는 삼각 곡선의 값을 찾는 것을 의미합니다.

• 해 곡선의 답 또는 값은도 또는 라디안으로 표현됩니다. 예 :

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45도; x = 37.12도; x = 178.37도

• 참고 : 단위 원에서 곡선의 삼각 함수는 해당 각도의 삼각 함수와 같습니다. 단위 원은 변수 곡선 x의 모든 삼각 함수를 정의합니다. 또한 기본 삼각 방정식과 부등식을 풀 때 증명으로 사용됩니다.
• 삼각 방정식의 예 :
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. 단위 원.
   • 이것은 반지름 = 1 인 원이며, 여기서 O는 원점입니다. 단위 원은 시계 반대 방향으로 원을 그리는 가변 곡선 x의 4 가지 주요 삼각 함수를 정의합니다.
   • 값이 x 인 곡선이 단위 원에서 변하면 다음을 유지합니다.
   • 수평 축 OAx는 삼각 함수 f (x) = cos x를 정의합니다.
   • 수직 축 OBy는 삼각 함수 f (x) = sin x를 정의합니다.
   • 수직 축 AT는 삼각 함수 f (x) = tan x를 정의합니다.
   • 수평축 BU는 삼각 함수 f (x) = cot x를 정의합니다.

• 단위 원은 원에서 곡선 x의 다양한 위치를 고려하여 기본 삼각 방정식과 표준 삼각 부등식을 해결하는데도 사용됩니다.

단계로

1. 솔루션 방법을 이해합니다.
   • 삼각 방정식을 풀려면 하나 이상의 기본 삼각 방정식으로 변환합니다. 삼각 방정식을 풀면 궁극적으로 4 개의 기본 삼각 방정식을 풀게됩니다.
2. 기본적인 삼각 방정식을 푸는 방법을 배웁니다.
   • 4 가지 기본 삼각 방정식이 있습니다.
   • 죄 x = a; cos x = a
   • tan x = a; 침대 x = a
   • 삼각 원에서 곡선 x의 다양한 위치를 연구하고 삼각 변환 표 (또는 계산기)를 사용하여 기본적인 삼각 방정식을 풀 수 있습니다. 이러한 기본 삼각법 방정식과 유사한 기본 삼각법 방정식을 푸는 방법을 완전히 이해하려면 "삼각법 : 삼각법 방정식 및 부등식 해결"(Amazon E-book 2010)을 읽어보십시오.
   • 예 1. sin x = 0.866을 구합니다. 변환 표 (또는 계산기)는 x = Pi / 3. 삼각 원은 사인 (0.866)에 대해 동일한 값을 갖는 또 다른 곡선 (2Pi / 3)을 제공합니다. 삼각 원은 확장 답변이라고하는 무한대의 답변도 제공합니다.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi 및 x2 = 2Pi / 3. (기간 (0, 2Pi) 이내 회신)
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi입니다. (자세한 답변).
   • 예 2. 풀기 : cos x = -1/2. 계산기는 x = 2 Pi / 3을 제공합니다. 삼각 원은 x = -2Pi / 3도 제공합니다.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, x2 =-2Pi / 3. (기간 (0, 2Pi)에 대한 답변)
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, x2 = -2Pi / 3 + 2k. Pi. (확장 답변)
   • 예제 3. 풀기 : tan (x-Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (대답)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (확장 답변)
   • 예제 4. 풀기 : cot 2x = 1.732 계산기와 삼각 원은 다음을 제공합니다.
   • x = Pi / 12; (대답)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (확장 답변)
3. 삼각 방정식을 푸는 데 사용되는 변환에 대해 알아 봅니다.
   • 주어진 삼각 방정식을 표준 삼각 방정식으로 변환하려면 표준 대수 변환 (인수 화, 공약수, 다항식 ...), 삼각 함수의 정의 및 속성과 삼각 ID를 사용하십시오. 약 31 개, 14 개가 있습니다. 그 중 19 개에서 31 개까지의 삼각 ID가 있으며, 이는 삼각 방정식의 변환에 사용되기 때문에 변환 ID라고도합니다. 위의 책을 참조하십시오.
   • 예 5 : 삼각 방정식 : sin x + sin 2x + sin 3x = 0은 삼각 항등을 사용하여 기본 삼각 방정식의 곱으로 변환 할 수 있습니다. 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. 풀어야 할 기본 삼각 방정식은 다음과 같습니다. cos x = 0; 죄 (3x / 2) = 0; 그리고 cos (x / 2) = 0.
4. 삼각 함수가 알려진 곡선을 찾으십시오.
   • 삼각 방정식을 푸는 방법을 배우기 전에 삼각 함수가 알려진 곡선을 빠르게 찾는 방법을 알아야합니다. 곡선 (또는 각도)의 변환 값은 삼각법 표 또는 계산기를 사용하여 결정할 수 있습니다.
   • 예 : cos x = 0.732를 구하십시오. 계산기는 솔루션 x = 42.95도를 제공합니다. 단위 원은 코사인에 대해 동일한 값을 가진 다른 곡선을 제공합니다.
5. 단위 원에 답의 호를 그립니다.
   • 단위 원에 대한 해를 나타내는 그래프를 만들 수 있습니다. 이 곡선의 끝점은 삼각 원의 정다각형입니다. 몇 가지 예 :
   • 곡선의 끝점 x = Pi / 3 + k. Pi / 2는 단위 원의 사각형입니다.
   • x = Pi / 4 + k.Pi / 3의 곡선은 단위 원의 육각형 좌표로 표시됩니다.
6. 삼각 방정식을 푸는 방법을 알아 봅니다.
   • 주어진 삼각 방정식에 삼각 함수가 하나만 포함 된 경우 표준 삼각 방정식으로 풉니 다. 주어진 방정식에 두 개 이상의 삼각 함수가 포함 된 경우 방정식 변환 옵션에 따라 두 가지 해법이 있습니다.
     • A. 방법 1.
   • 삼각 방정식을 f (x) .g (x) = 0 또는 f (x) .g (x) .h (x) = 0, 여기서 f (x), g (x) 형식의 곱으로 변환합니다. h (x)는 기본적인 삼각 방정식입니다.
   • 예제 6. 풀기 : 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • 해결책. 식에서 sin 2x를 sin 2x = 2 * sin x * cos x로 바꿉니다.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. 그런 다음 2 개의 표준 삼각 함수를 풉니 다 : cos x = 0, (sin x + 1) = 0.
   • 예제 7. 풀기 : cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • 솔루션 : 삼각법 아이덴티티를 사용하여 이것을 곱으로 변환합니다 : cos 2x (2cos x + 1) = 0. 이제 2 개의 기본 삼각 방정식 인 cos 2x = 0, (2cos x + 1) = 0을 풉니 다.
   • 예제 8. 풀기 : sin x-sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • 솔루션 : 삼각법 아이덴티티 : -cos 2x * (2sin x + 1) = 0을 사용하여 이것을 곱으로 변환합니다. 이제 2 개의 기본 삼각 방정식을 풉니 다 : cos 2x = 0, (2sin x + 1) = 0.
     • B. 접근법 2.
   • 삼각 방정식을 하나의 고유 삼각 함수 만 변수로 사용하는 삼각 방정식으로 변환합니다. 적절한 변수를 선택하는 방법에 대한 몇 가지 팁이 있습니다. 공통 변수는 다음과 같습니다. sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t 및 tan (x / 2) = t.
   • 예제 9. 풀기 : 3sin ^ 2 x-2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • 해결책. 방정식에서 (cos ^ 2x)를 (1-sin ^ 2x)로 바꾸고 방정식을 단순화합니다.
   • 3sin ^ 2 x-2 + 2sin ^ 2 x-4sin x-7 = 0. 이제 sin x = t를 사용합니다. 방정식은 다음과 같습니다. 5t ^ 2-4t-9 = 0. 이것은 2 개의 근을 갖는 2 차 방정식입니다 : t1 = -1 및 t2 = 9/5. 두 번째 t2를 기각 할 수 있습니다. 왜냐하면> 1. 이제 다음을 해결하십시오 : t = sin = -1-> x = 3Pi / 2.
   • 예제 10. 풀기 : tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • 해결책. tan x = t를 사용하십시오. 주어진 방정식을 t를 변수로 사용하는 방정식으로 변환합니다 : (2t + 1) (t ^ 2-1) = 0.이 곱에서 t에 대해 풀고 x에 대해 표준 삼각 방정식 tan x = t를 풉니 다.
7. 특별한 삼각 방정식을 풉니 다.
   • 특정 변환이 필요한 몇 가지 특수 삼각 방정식이 있습니다. 예 :
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 삼각 함수의 주기적 속성을 알아 봅니다.
   • 모든 삼각 함수는 주기적이므로 일정 기간 동안 회전 한 후 동일한 값으로 돌아갑니다. 예 :
     • 함수 f (x) = sin x는 기간으로 2Pi를 갖습니다.
     • 함수 f (x) = tan x는 Pi를 기간으로합니다.
     • 함수 f (x) = sin 2x는 Pi를 주기로 갖습니다.
     • 함수 f (x) = cos (x / 2)는 4Pi를 주기로합니다.
   • 기간이 연습 / 테스트에 지정되어 있으면이 기간 내에서 곡선 (s) x를 찾아야합니다.
   • 참고 : 삼각 방정식을 푸는 것은 까다 롭고 종종 오류와 실수로 이어집니다. 따라서 답변을주의 깊게 확인해야합니다. 풀이 후에는 주어진 삼각 방정식 R (x) = 0을 직접 표현하기 위해 그래프 계산기를 사용하여 답을 확인할 수 있습니다. 답 (제곱근)은 소수점 이하 자릿수로 제공됩니다. 예를 들어 Pi의 값은 3.14입니다.