분석 이해

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단계로
1/3 부 : 분석의 기초
2/3 부 : 파생 상품 이해
3/3 부 : 적분 이해
팁

분석 (미적분이라고도 함)은 한계, 함수, 미분, 적분 및 무한 급수에 초점을 맞춘 수학의 한 분야입니다. 이 과목은 많은 수학을 다루며 물리학과 역학에서 사용되는 많은 공식과 방정식의 기초가됩니다. 분석을 제대로 이해하려면 고등학교에서 수년 간의 수학을 배워야 할 수 있지만이 기사는 이론에 대한 더 나은 이해뿐만 아니라 핵심 개념을 인식하는 방법을 배우는 데 도움이 될 것입니다.

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1/3 부 : 분석의 기초

분석은 상황이 어떻게 변하는 지에 대한 연구입니다. 분석은 일반적으로 실제 데이터에서 가져온 숫자와 그래프를 조사하고 이들이 어떻게 변하는 지 설명하는 수학의 한 분야입니다. 처음에는별로 유용하지 않은 것 같지만 분석은 가장 일반적으로 사용되는 수학 분야 중 하나입니다. 주어진 시간에 비즈니스가 얼마나 빠르게 성장하고 있는지 또는 우주선의 경로를 차트로 작성하는 방법과 연료가 얼마나 빨리 소모되는지를 알려주는 도구가 있다고 상상해보십시오. 분석은 공학, 경제, 통계, 화학 및 물리학에서 중요한 도구이며 많은 발명과 발견에 기여했습니다.
함수는 두 숫자 간의 관계이며 관계를 매핑하는 데 사용됩니다. 그것들은 숫자 간의 관계에 대한 규칙이며 수학자들은이를 사용하여 그래프를 만듭니다. 함수에서 각 입력에는 정확히 하나의 결과가 있습니다. 예 : ${ 디스플레이 스타일 y = 2x + 4,}$ 무한의 개념에 대해 생각해보십시오. 무한대는 프로세스의 지속적인 반복입니다. 그것은 특정 장소 (무한대로 갈 수 없음)가 아니라 영원히 수행된다면 숫자 나 방정식의 행동입니다. 이것은 변화를 연구하는 데 중요합니다. 주어진 시간에 자동차가 얼마나 빨리 움직이는 지 알고 싶을 수도 있지만, 현재 초 동안 자동차가 얼마나 빨리 움직이는 지 알고 싶습니까? 밀리 초? 나노초? 훨씬 더 정확하기 위해 무한히 더 작은 시간 덩어리를 찾을 수 있으며, 바로 분석이 시작됩니다.
한계의 개념을 이해하십시오. 한계는 무언가가 무한대에 가까워지면 어떤 일이 발생하는지 알려줍니다. 숫자 1을 2로 나눕니다. 2로 계속 나눕니다. 1은 1/2이되고 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 등이됩니다. 숫자가 점점 작아 질 때마다 "0에 가까워집니다". 하지만 어디에서 멈출까요? 0을 얻기 위해 1을 2로 몇 번이나 나누어야합니까? 이 질문에 대답하는 대신 분석에서 한도 이 경우 제한이 있습니다.
- 한계는 그래프에서 시각화하기 가장 쉬운 것입니다. 예를 들어 그래프가 거의 닿지 만 결코 정답이 아닌 점이 있습니까?
- 제한은 숫자, 무한 또는 존재하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 덧셈 시퀀스 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...와 이것은 무한히 계속되면 최종 숫자는 무한히 커집니다. 그러면 한계가 무한 해집니다.
대수, 삼각법 및 수학의 기초에 대한 필수 수학 개념을 검토합니다. 분석은 이전에 배운 수학의 대부분에 의존합니다. 모든 주제에 대해 잘 알고 있으면 분석을 훨씬 쉽게 배우고 이해할 수 있습니다. 다룰 몇 가지 주제는 다음과 같습니다.
- 대수학. 다양한 프로세스를 이해하고 여러 변수를 사용하여 방정식과 연립 방정식을 풀 수 있어야합니다. 컬렉션의 기본 사항을 이해합니다. 그래프 만들기를 연습하세요.
- 기하학. 기하학은 모양에 대한 연구입니다. 삼각형, 직사각형 및 원에 대한 기본 지식과 둘레 및 면적과 같은 것을 계산하는 방법이 있어야합니다. 각도, 선 및 좌표 이해
- 삼각법. 삼각법은 원과 직각 삼각형의 속성을 다루는 수학의 한 분야입니다. 삼각 ID, 그래프, 함수 및 역삼 각 함수를 사용하는 방법을 알아 봅니다.
그래프 계산기를 구입하십시오. 분석은 당신이하는 일을 보지 않고는 이해하기 쉽지 않습니다. 그래프 계산기는 함수를 시각적으로 만들어 처리중인 방정식을 더 잘 이해할 수 있도록합니다. 종종 한계가 화면에 표시되고 미분 및 함수가 자동으로 계산됩니다.
- 오늘날 많은 스마트 폰과 태블릿은 그래프 계산기를 원하지 않거나 구입할 수없는 경우 저렴하지만 효과적인 그래프 앱을 제공합니다.

2/3 부 : 파생 상품 이해

분석은 "특정 순간의 변화"를 연구하는 데 사용됩니다. 정확한 순간에 변화하는 이유를 아는 것이 분석의 핵심입니다. 예를 들어, 분석은 자동차의 속도뿐만 아니라 주어진 시간에 속도가 얼마나 변하는 지 알려줍니다. 이것은 분석의 가장 간단한 용도 중 하나이지만 매우 중요합니다. 우주선이 달까지가는 데 걸리는 속도를 결정하는 데 그러한 정보가 얼마나 중요한지 상상해보십시오!
- 특정 시점에서 변화를 결정하는 것은 구별 짓다. 차별화는 분석의 두 가지 주요 분야 중 첫 번째입니다.
파생 상품을 사용하여 주어진 시간에 상황이 어떻게 변하는 지 이해하십시오. "파생"은 종종 학생들을 긴장하게 만드는 것에 대한 좋은 단어입니다. 그러나 개념 자체는 이해하기 어렵지 않습니다. 단지 "얼마나 빠르게 변화 하는가"를 의미합니다. 일상 생활에서 가장 많이 접하게 될 파생물은 속도와 관련이 있습니다. 그러나 일반적으로이를 "속도의 미분"이라고 부르지 않고 단순히 "가속"이라고합니다.
- 가속은 미분입니다. 어떤 것이 얼마나 빠르게 가속 또는 감속하는지 또는 속도가 어떻게 변하는 지 알려줍니다.
변화율이 두 지점 사이의 기울기와 같다는 것을 알아 두십시오. 이것은 분석의 가장 중요한 발견 중 하나입니다. 두 점 사이의 변화율은 두 점 사이의 선 기울기와 같습니다. 방정식과 같은 단순한 선을 생각해보십시오. 와이=3엑스.{ 디스플레이 스타일 y = 3x.}곡선의 기울기를 결정할 수 있습니다. 직선의 기울기를 결정하는 것은 비교적 쉽습니다 : 얼마나 많은 변화가 와이{ 디스플레이 스타일 y}변경 사항을 더 정확하게 계산하려면 점이 서로 더 가까워 야합니다. 두 점을 더 가깝게 선택할수록 답이 더 정확 해집니다. 가속기를 눌렀을 때 자동차가 얼마나 가속되는지 알고 싶다고 가정 해 보겠습니다. 집과 슈퍼마켓 사이의 속도 변화가 아니라 가속기를 밟은 순간의 속도 변화를 측정하고 싶습니다. 측정 값이 그 순간에 가까울수록 변화를 더 정확하게 계산할 수 있습니다.
- 예를 들어, 과학자들은 일부 종을 구하기 위해 얼마나 빨리 멸종되는지 조사하고 있습니다. 그러나 여름보다 겨울에 더 많은 동물이 죽기 때문에 1 년 내내 변화율을 연구하는 것은 유용하지 않습니다. 7 월 1 일부터 8 월 1 일까지와 같이 더 짧은 기간 내에 변화율을 결정하는 것이 좋습니다.
무한히 짧은 선을 사용하여 "순간 변화율"을 결정하거나 미분을 찾으십시오. 이것은 분석이 종종 약간 혼란스러워지는 곳이지만 실제로는 두 가지 간단한 사실의 결과입니다. 우선, 당신은 선의 기울기가 선이 얼마나 빨리 변하는 지와 같다는 것을 알고 있습니다. 둘째, 선의 점이 서로 가까울수록 판독 값이 더 정확 해집니다. 그러나 기울기가 두 지점 사이의 관계인 경우 주어진 지점에서 변화율을 어떻게 찾을 수 있습니까? 대답: 서로 무한히 가까운 두 점을 선택합니다..
- 1을 2로 계속 나누어 1/2, 1/4, 1/8 등을 얻는 예를 고려하십시오. 결국에는 0에 가까워지고 답은 "거의 0"입니다. 포인트는 서로 너무 가깝기 때문에 "서로 거의 동일"합니다. 이것이 파생 상품의 특성입니다.
다양한 파생 상품을 결정하는 방법을 알아 봅니다. 방정식에 따라 미분을 찾는 데는 수많은 다른 기술이 있지만 위의 미분의 기본 사항을 암기했다면 대부분이 의미가 있습니다. 모든 미분은 "무한한"선의 기울기를 찾는 방법입니다. 이제 미분 이론에 대해 더 많이 알았으므로 많은 작업이 답을 찾는 것입니다.
파생 된 방정식을 찾아 언제든지 변화율을 예측할 수 있습니다. 주어진 시간에 변화율을 결정하기 위해 도함수를 사용하는 것이 유용하지만 분석의 장점은 모든 기능에 대해 새 모델을 만들 수 있다는 것입니다. 파생 상품 와이=엑스2,{ 디스플레이 스타일 y = x ^ {2},}이것이 이해하기 어렵다면 파생물의 실제 예를 기억하십시오. 가장 간단한 예는 우리가 매일 만나는 다양한 파생물을 포함하는 속도를 기반으로합니다. 잊지 마요: 도함수는 무언가가 얼마나 빨리 변하는 지 측정하는 것입니다.. 간단한 실험을 생각해보십시오. 당신은 테이블에 구슬을 굴려서 얼마나 멀리 움직이는 지, 매번 얼마나 빨리 움직이는 지 측정합니다. 이제 구르는 구슬이 그래프의 선을 따라 간다고 상상해보십시오. 여러분은 그 선에서 언제든지 즉각적인 변화를 측정하기 위해 미분을 사용하고 있습니다.
- 구슬은 얼마나 빨리 움직입니까? 움직이는 구슬의 위치 (또는 파생물)는 어떤 속도로 변합니까? 우리는 이것을 "속도"라고 부릅니다.
- 경사면을 따라 구슬을 굴려 속도가 어떻게 변하는 지 관찰하십시오. 구슬 속도의 변화율 또는 파생물은 얼마입니까? 이 미분을 "가속"이라고합니다.
- 롤러 코스터와 같은 물결 모양의 트랙을 따라 대리석을 굴립니다. 구슬이 굴러 내려갈 때 속도가 어느 정도 증가하고, 구슬이 오르막 속도가 어느 정도 느려지나요? 대리석이 첫 번째 언덕 중간에있을 때 정확히 얼마나 빨리 이동합니까? 이것은 특정 지점에서 대리석의 순간적인 변화율 또는 파생물입니다.

3/3 부 : 적분 이해

분석을 사용하여 복잡한 영역과 볼륨을 찾을 수 있음을 알고 있습니다. 분석을 통해 측정하기 어려운 복잡한 모양을 측정 할 수 있습니다. 예를 들어, 길고 불규칙한 모양의 호수에 얼마나 많은 물이 들어 있는지 알고 싶은 문제를 생각해보십시오. 1 리터의 물을 개별적으로 측정하거나 눈금자를 사용하여 호수의 모양을 측정하는 것은 불가능합니다. 분석을 통해 호수 가장자리가 어떻게 변하는 지 연구 한 다음 해당 정보를 사용하여 호수에 포함 된 물의 양을 알아낼 수 있습니다.
- 기하학적 모델 만들기 및 볼륨 연구 통합. 통합 미적분은 분석의 두 번째로 중요한 부분입니다.
적분은 그래프 아래 영역이라는 것을 아십시오. 통합은 선 아래의 공간을 측정하는 데 사용되므로 이상하거나 불규칙한 모양의 영역을 결정할 수 있습니다. 방정식을 와이=4−엑스2,{ 디스플레이 스타일 y = 4-x ^ {2},}통합 할 영역을 선택해야합니다. 단순히 전체 기능을 통합 할 수는 없습니다. 예를 들어 와이=엑스{ 디스플레이 스타일 y = x}직사각형의 면적을 계산하는 방법에 대해 생각하십시오. 그래프 위에 다음과 같은 평평한 선이 있다고 가정합니다. 와이=4.{ 디스플레이 스타일 y = 4.}적분 미적분에서는 면적의 면적을 찾기 위해 많은 작은 직사각형이 함께 추가됩니다. 커브를 엄청나게 확대하면 직선처럼 보입니다. 당신은 이것을 매일 봅니다-당신은 지구 표면에 너무 가깝기 때문에 지구의 곡률을 인식 할 수 없습니다. 통합은 너무 작아서 기본적으로 평평한 곡선 아래에 무한한 수의 작은 직사각형을 만들어서 셀 수 있습니다. 이 모든 직사각형이 함께 추가되어 곡선 아래 영역의 영역을 형성합니다.
- 그래프 아래에 많은 작은 세그먼트를 더하고 이것이 각 세그먼트의 너비라고 가정합니다. 거의 0입니다.
적분을 올바르게 읽고 쓰는 방법을 알아야합니다. 적분은 4 개의 부분으로 구성됩니다. 일반적인 적분은 다음과 같습니다.

∫에프(엑스)디엑스{ 디스플레이 스타일 int f (x) mathrm {d} x} 적분 찾기에 대해 더 알아보기. 통합은 다양한 형태로 제공되며 각 기능을 통합하려면 다양한 공식을 배워야합니다. 그러나 이들은 모두 위에 설명 된 원칙을 따릅니다. 통합은 무한한 수의 합계입니다.
- 대체로 통합하십시오.
- 무한 적분을 계산합니다.
- 공유하여 통합하십시오.
통합은 미분의 반대이며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것은 매우 중요한 분석 법칙으로, 고유 한 이름 인 적분 계산의 주 정리 (Principal Theorem of Integral Calculation)가 지정되었습니다.통합과 차별화는 매우 밀접한 관련이 있기 때문에 두 가지의 조합을 사용하여 보유한 정보에 관계없이 변화율, 가속도, 속도, 위치, 이동 등을 결정할 수 있습니다.
- 예를 들어 속도의 미분은 가속도이므로 속도를 사용하여 가속도를 찾을 수 있습니다. 그러나 무언가의 가속도 만 아는 경우 (예 : 중력으로 인해 떨어지는 물체), 통합하여 속도를 되 찾을 수 있습니다!
통합을 통해 3D 개체의 볼륨을 제어 할 수도 있습니다. 평평한 모양을 회전하는 것은 3D 솔리드를 만드는 한 가지 방법입니다. 테이블 위에서 회전하는 동전을 상상해보십시오. 동전이 회전 할 때 구 모양을 취하는 것처럼 보입니다. 이 개념을 사용하면 "회전 별 볼륨"이라는 프로세스에 따라 볼륨을 결정할 수 있습니다.
- 이를 통해 솔리드를 나타내는 함수가있는 한 솔리드의 볼륨을 결정할 수 있습니다. 예를 들어 호수 바닥을 추적하는 함수를 만든 다음이를 사용하여 호수의 부피 또는 포함 된 물의 양을 결정할 수 있습니다.