두 개의 변수로 연립 방정식 풀기

콘텐츠

단계로
3 가지 방법 중 1 : 대체 방법 사용
방법 2/3 : 제거 방법 사용
3 가지 방법 중 3 : 방정식 그래프 작성
팁
경고

"방정식 시스템"에서는 두 개 이상의 방정식을 동시에 풀어야합니다. 이 두 가지가 x와 y, 또는 a와 b와 같은 서로 다른 변수를 포함 할 경우이를 해결하는 방법을 한 눈에보기가 어려울 수 있습니다. 다행히도, 무엇을해야할지 알게되면 문제를 해결하기 위해 기본적인 수학 기술 (때로는 분수 지식) 만 있으면됩니다. 필요한 경우 또는 시각적 학생 인 경우 방정식을 그래프로 그리는 방법도 배웁니다. 그래프를 그래프로 작성 (플로팅)하면 "무슨 일이 일어나고 있는지 확인"하거나 작업을 확인하는 데 유용 할 수 있지만 다른 방법보다 느릴 수도 있으며 모든 방정식 시스템에서 작동하지 않습니다.

단계로

3 가지 방법 중 1 : 대체 방법 사용

변수를 방정식의 다른 변으로 옮깁니다. 이 "대체"방법은 방정식 중 하나에서 "x에 대한 풀기"(또는 다른 변수)로 시작합니다. 예를 들어, 다음 방정식이 있습니다. 4x + 2y = 8 과 5x + 3x = 9. 먼저 첫 번째 비교를 살펴 봅니다. 각 변에서 2y를 빼서 재정렬하면 다음을 얻을 수 있습니다. 4x = 8-2 년.
- 이 방법은 종종 나중 단계에서 분수를 사용합니다. 분수 작업을 원하지 않는 경우 아래의 제거 방법을 사용할 수도 있습니다.
방정식의 양변을 나누어 "x"를 구합니다. 방정식의 한쪽에 x라는 용어 (또는 사용하는 변수)가 있으면 방정식의 양쪽을 나누어 변수를 분리합니다. 예를 들면 :
- 4x = 8-2 년
- (4x) / 4 = (8/4)-(2 년 / 4)
- x = 2-½y
이것을 다른 방정식에 다시 연결하십시오. 로 돌아가십시오. 기타 이미 사용한 비교가 아닙니다. 이 방정식에서 풀은 변수를 바꾸고 변수는 하나만 남깁니다. 예를 들면 :
- 이제 다음을 알 수 있습니다. x = 2-½y.
- 아직 변경하지 않은 두 번째 방정식은 다음과 같습니다. 5x + 3x = 9.
- 두 번째 방정식에서 x를 "2-½y"로 바꿉니다. 5 (2-½y) + 3y = 9.
나머지 변수를 풉니 다. 이제 변수가 하나 뿐인 방정식이 있습니다. 일반적인 대수 기술을 사용하여 해당 변수를 해결하십시오. 변수가 서로를 취소하면 마지막 단계로 건너 뜁니다.. 그렇지 않으면 변수 중 하나에 대한 답을 얻게됩니다.
- 5 (2-½y) + 3y = 9
- 10-(5/2) y + 3y = 9
- 10-(5/2) y + (6/2) y = 9 (이 단계를 이해하지 못한다면 분수를 더하는 방법을 배우십시오. 이것은 종종이 방법에 필요한 것은 아니지만 항상 필요합니다).
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
답을 사용하여 다른 변수를 풉니 다. 문제를 중간에 끝내는 실수를하지 마십시오. 다른 변수를 풀 수 있도록 원래 방정식 중 하나에 얻은 답을 다시 입력해야합니다.
- 이제 다음을 알 수 있습니다. y = -2
- 원래 방정식 중 하나는 다음과 같습니다. 4x + 2y = 8. (이 단계에서는 두 방정식을 모두 사용할 수 있습니다.)
- y 대신 -2를 연결하십시오. 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x-4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
두 변수가 서로 상쇄 될 경우 어떻게해야하는지 알아 두십시오. 때를 x = 3 년 + 2 또는 다른 방정식에서 비슷한 답을 얻으면 변수가 하나 뿐인 방정식을 얻으려고합니다. 때때로 당신은 대신 방정식으로 끝납니다 없이 변수. 작업을 다시 확인하고 첫 번째 방정식이 아닌 두 번째 방정식의 (재정렬 된) 첫 번째 방정식을 대체하십시오. 실수하지 않았다고 확신하는 경우 다음 결과 중 하나가 표시됩니다.
- 변수가없고 참이 아닌 방정식 (예 : 3 = 5)으로 끝나는 경우 문제가있는 것입니다. 해결책 없음. (방정식을 그래프로 표시 한 경우 평행하고 절대 교차하지 않음을 알 수 있습니다.)
- 변수가없는 방정식으로 끝나지만 잘 true (예 : 3 = 3)이면 문제가 있습니다. 무한한 수의 솔루션. 두 방정식은 정확히 동일합니다. (두 방정식을 그래프로 표시하면 정확히 겹치는 것을 볼 수 있습니다).

방법 2/3 : 제거 방법 사용

제거 할 변수를 결정합니다. 때로는 방정식을 함께 추가하자마자 변수에서 서로 "제거"됩니다. 예를 들어, 방정식을 할 때 3x + 2y = 11 과 5x-2y = 13 결합하면 "+ 2y"와 "-2y"는 서로를 취소하고 모든 "ys는 방정식에서 제거됩니다. 문제의 방정식을보고 이러한 방식으로 제거 될 변수가 있는지 확인하십시오. 제거 된 변수가 없으면 다음 단계로 넘어가 조언을 구하십시오.
변수를 취소하려면 방정식을 곱하십시오. (변수가 이미 서로 제거 된 경우이 단계를 건너 뜁니다). 방정식의 변수가 저절로 상쇄되지 않으면 방정식 중 하나를 변경해야합니다. 예를 들어 보면 이해하기 가장 쉽습니다.
- 연립 방정식이 있다고 가정합니다. 3x-y = 3 과 -x + 2y = 4.
- 변수가 다음과 같도록 첫 번째 방정식을 변경해 보겠습니다. 와이 제거됩니다. (당신은 또한 이것을 할 수 있습니다 엑스 하고 같은 대답을 얻습니다).
- 그만큼 -y " 첫 번째 방정식의 + 2 년 두 번째 방정식에서. 우리는 이것을 할 수 있습니다 -y 2를 곱하십시오.
- 다음과 같이 첫 번째 방정식의 양쪽에 2를 곱합니다. 2 (3x-y) = 2 (3), 따라서 6x-2y = 6. 이제 -2 년 에 대하여 떨어지다 + 2 년 두 번째 방정식에서.
두 방정식을 결합하십시오. 두 방정식을 결합하려면 왼쪽과 오른쪽을 함께 더하세요. 방정식을 올바르게 작성했다면 변수 중 하나가 다른 변수에 대해 상쇄되어야합니다. 다음은 마지막 단계와 동일한 방정식을 사용하는 예입니다.
- 방정식은 다음과 같습니다. 6x-2y = 6 과 -x + 2y = 4.
- 왼쪽 결합 : 6x-2y-x + 2y =?
- 오른쪽 결합 : 6 배-2 년-x + 2 년 = 6 + 4.
마지막 변수를 풉니 다. 결합 방정식을 단순화 한 다음 기본 대수를 사용하여 마지막 변수를 해결합니다.. 단순화 후 남은 변수가 없으면이 섹션의 마지막 단계를 계속합니다.. 그렇지 않으면 변수 중 하나에 대한 간단한 답으로 끝내야합니다. 예를 들면 :
- 당신은 : 6 배-2 년-x + 2 년 = 6 + 4.
- 변수 그룹화 엑스 과 와이 서로 서로 함께: 6 배-x-2 년 + 2 년 = 6 + 4.
- 단순화 : 5x = 10
- x 구하기 : (5x) / 5 = 10/5, 그래서 x = 2.
다른 변수를 풉니 다. 하나의 변수를 찾았지만 아직 완료되지 않았습니다. 다른 변수를 풀 수 있도록 원래 방정식 중 하나에 답을 대입하십시오. 예를 들면 :
- 알 잖아 x = 2, 그리고 원래 방정식 중 하나는 3x-y = 3 이다.
- x 대신 2를 연결하십시오. 3 (2)-y = 3.
- 방정식에서 y를 풉니 다. 6-y = 3
- 6-y + y = 3 + y, 그래서 6 = 3 + y
- 3 = y
두 변수가 서로 상쇄 될 때해야 할 일을 알아 두십시오. 때때로 두 방정식을 결합하면 의미가 없거나 문제 해결에 도움이되지 않는 방정식이 생성됩니다. 처음부터 작업을 다시 확인하되 실수하지 않았다면 다음 답변 중 하나를 적어 두십시오.
- 결합 방정식에 변수가없고 참이 아닌 경우 (예 : 2 = 7) 해결책 없음 두 방정식 모두에 적용됩니다. (두 방정식을 모두 그래프로 표시하면 두 방정식이 평행하고 절대 교차하지 않음을 알 수 있습니다.)
- 결합 방정식에 변수가없고 참이면 (예 : 0 = 0) 무한한 수의 솔루션. 두 방정식은 실제로 동일합니다. (그래프에 배치하면 서로 완전히 겹치는 것을 볼 수 있습니다).

3 가지 방법 중 3 : 방정식 그래프 작성

지정된 경우에만이 방법을 사용하십시오. 컴퓨터 나 그래프 계산기를 사용하지 않는 한 많은 연립 방정식은이 방법으로 만 대략적으로 풀 수 있습니다. 선생님이나 수학 교과서에서이 방법을 사용하도록 요청할 수 있으므로 선과 같은 그래픽 방정식에 익숙 할 것입니다. 이 방법을 사용하여 다른 방법의 답변이 올바른지 확인할 수도 있습니다.
- 기본 아이디어는 두 방정식을 그래프로 표시하고 두 방정식이 교차하는 지점을 결정하는 것입니다. 이 시점에서 x 및 y 값은 방정식 시스템에서 x 값과 y 값을 제공합니다.
y에 대한 두 방정식을 모두 풉니 다. 두 방정식을 별도로 유지하고 대수를 사용하여 각 방정식을 "y = __x + __"형식으로 변환합니다. 예를 들면 :
- 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다. 2x + y = 5. 이것을 다음으로 변경하십시오. y = -2x + 5.
- 두 번째 방정식은 다음과 같습니다. -3x + 6y = 0. 이것을 다음으로 변경하십시오. 6y = 3x + 0, 단순화 y = ½x + 0.
- 두 방정식이 동일합니까?이면 전체 선이 "교차점"이됩니다. 쓰다: 무한 솔루션.
좌표계를 그립니다. 그래프 용지에 수직 "y 축"과 수평 "x 축"을 그립니다. 선이 교차하는 지점에서 시작하여 숫자 1, 2, 3, 4 등을 y 축 위로 레이블을 지정하고 x 축을 따라 다시 오른쪽으로 레이블을 지정합니다. y 축을 따라 아래로 그리고 x 축을 따라 왼쪽으로 숫자 -1, -2 등의 레이블을 지정합니다.
- 모눈 종이가없는 경우 눈금자를 사용하여 숫자의 간격이 균등한지 확인하십시오.
- 큰 숫자 나 소수 자리를 사용하는 경우 차트의 크기를 조정해야 할 수 있습니다. (예 : 1, 2, 3 대신 10, 20, 30 또는 0.1, 0.2, 0.3).
각 선에 대해 y 교차점을 그립니다. 양식에 방정식이 있으면 y = __x + __ 선이 y 축을 가로 지르는 지점을 설정하여 그래프를 시작할 수 있습니다. 이것은 항상이 방정식의 마지막 숫자와 같은 y 값입니다.
- 앞서 언급 한 예에서 한 줄 (y = -2x + 5)를 y 축으로 5. 다른 줄 (y = ½x + 0) 영점을 통과 0. (그래프에서 점 (0.5) 및 (0.0)입니다).
- 가능한 경우 각 선을 다른 색으로 표시하십시오.
계속해서 선을 그리려면 경사를 사용합니다. 의 형태의 y = __x + __는 x 번째의 숫자입니다. 경사 라인에서. x가 1 씩 증가 할 때마다 y 값은 기울기 값과 함께 증가합니다. 이 정보를 사용하여 x = 1 일 때 각 선에 대한 그래프의 점을 찾으십시오 (또는 각 방정식에 대해 x = 1을 대체하고 y를 해결하십시오).
- 이 예에서 라인은 y = -2x + 5 기울기 -2. x = 1에서 라인 2가 내려갑니다. 하위 점 x = 0에서. (0.5)와 (1.3) 사이의 선분을 그립니다.
- 규칙 y = ½x + 0기울기가 ½. x = 1에서 선은 ½이됩니다. 쪽으로 점 x = 0에서. (0,0)과 (1, ½) 사이의 선분을 그립니다.
- 선의 기울기가 같을 때 선은 절대 교차하지 않으므로 연립 방정식에 대한 해결책이 없습니다. 쓰다: 해결책 없음.
선이 교차 할 때까지 계속 플로팅합니다. 중지하고 차트를보십시오. 선이 이미 서로 교차했다면 다음 단계로 이동하십시오. 그렇지 않으면 라인이 수행하는 작업에 따라 결정을 내립니다.
- 선이 서로를 향해 이동함에 따라 해당 방향으로 점을 계속 그립니다.
- 선이 서로 멀어지는 경우 뒤로 돌아가서 x = -1에서 시작하여 다른 방향으로 점을 그립니다.
- 선이 서로 가까이 있지 않으면 앞으로 이동하여 더 먼 점 (예 : x = 10)을 플로팅합니다.
선의 교차점에서 답을 찾으십시오. 두 선이 교차하면 해당 지점의 x 및 y 값이 문제의 해결책입니다. 운이 좋다면 대답은 정수가 될 것입니다. 예를 들어,이 예에서 두 선은 (2,1) 그래서 당신의 대답입니다 x = 2 및 y = 1. 일부 방정식 시스템에서 선은 두 정수 사이의 값에서 교차하며 그래프가 매우 정확하지 않으면 이것이 어디에 있는지 알기가 어렵습니다. 이 경우 "x는 1과 2 사이입니다"와 같이 답할 수 있습니다. 대입 방법이나 제거 방법을 사용하여 정확한 답을 찾을 수도 있습니다.