행렬을 나누는 방법

콘텐츠

간단한 요약
단계
파트 1/3: 행렬의 나눗셈 테스트
2/3부: 역행렬 찾기
3/3부: 행렬 곱셈
팁
경고
추가 기사

두 행렬을 곱하는 방법을 알고 있다면 행렬 "나누기"를 시작할 수 있습니다. 행렬을 실제로 나눌 수 없기 때문에 "나누기"라는 단어는 따옴표로 묶습니다. 나눗셈 연산은 한 행렬에 두 번째 행렬의 역행렬을 곱하는 연산으로 대체됩니다. 간단하게 하기 위해 정수가 있는 예를 고려하십시오. 10 ÷ 5. 5: 5 또는 /의 역수를 찾으십시오.₅, 나눗셈을 곱셈으로 바꿉니다: 10 x 5; 나눗셈과 곱셈의 결과는 같습니다. 따라서 나눗셈은 역행렬에 의한 곱셈으로 대체될 수 있다고 믿어집니다. 일반적으로 이러한 계산은 선형 방정식 시스템을 푸는 데 사용됩니다.

간단한 요약

행렬을 나눌 수 없습니다. 나누는 대신에 하나의 행렬에 두 번째 행렬의 역행렬을 곱합니다. 두 행렬 [A] ÷ [B]의 "나누기"는 [A] * [B] 또는 [B] * [A]와 같이 작성됩니다.
행렬 [B]가 정사각형이 아니거나 행렬식의 행렬식이 0이면 "명확한 해 없음"이라고 적으십시오. 그렇지 않으면 행렬 [B]의 행렬식을 찾고 다음 단계로 이동합니다.
역수 찾기: [B].
행렬을 곱하여 [A] * [B] 또는 [B] * [A]를 찾습니다. 행렬을 곱하는 순서는 최종 결과에 영향을 미칩니다(즉, 결과가 다를 수 있음).

단계

파트 1/3: 행렬의 나눗셈 테스트

1 행렬의 "나누기"를 이해합니다. 사실 행렬은 나눌 수 없습니다. "행렬을 다른 행렬로 나누는 것"과 같은 수학적 연산은 없습니다. 나눗셈은 한 행렬에 두 번째 행렬의 역행렬을 곱하여 대체됩니다. 즉, [A] ÷ [B] 표기법이 올바르지 않으므로 [A] * [B] 표기법으로 대체합니다. 스칼라 값의 경우 두 항목이 동일하므로 이론적으로 행렬의 "나누기"에 대해 이야기할 수 있지만 올바른 용어를 사용하는 것이 더 좋습니다.
- [A] * [B] 및 [B] * [A]는 다른 작업입니다. 가능한 모든 솔루션을 찾기 위해 두 작업을 모두 수행해야 할 수도 있습니다.
- 예를 들어 대신 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ 쓰다 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  계산해야 할 수도 있습니다 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ 다른 결과를 얻으려면.
2 다른 행렬로 "나누는" 행렬이 정사각형인지 확인하십시오. 행렬을 반전시키려면(행렬의 역행렬 찾기) 정사각형, 즉 동일한 수의 행과 열을 가져야 합니다. 역행렬이 역행렬이 아니면 명확한 해가 없습니다.
- 다시 말하지만, 여기서 행렬은 "나누어질 수" 없습니다. 작업 [A] * [B]에서 설명된 조건은 행렬 [B]를 참조합니다. 이 예에서 이 조건은 행렬을 나타냅니다. ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- 역행할 수 있는 행렬을 비축퇴행렬 또는 정규행렬이라고 합니다. 역행렬이 불가능한 행렬을 축퇴행렬 또는 특이행렬이라고 합니다.
3 두 행렬을 곱할 수 있는지 확인합니다. 두 행렬을 곱하려면 첫 번째 행렬의 열 개수가 두 번째 행렬의 행 개수와 같아야 합니다. 항목 [A] * [B] 또는 [B] * [A]에서 이 조건이 충족되지 않으면 솔루션이 없습니다.
- 예를 들어, 행렬 [A]의 크기가 4 x 3이고 행렬 [B]의 크기가 2 x 2이면 해가 없습니다. [A] * [B]는 4 ≠ 2이므로 곱할 수 없고 [B] * [A]는 2 ≠ 3이므로 곱할 수 없습니다.
- 역행렬 [B]는 항상 원래 행렬 [B]와 동일한 수의 행과 열을 가집니다. 두 행렬을 곱할 수 있는지 확인하기 위해 역행렬을 찾을 필요는 없습니다.
- 이 예에서 두 행렬의 크기는 2 x 2이므로 임의의 순서로 곱할 수 있습니다.
4 2 × 2 행렬의 행렬식을 찾습니다. 기억하십시오: 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에만 행렬을 반전할 수 있습니다(그렇지 않으면 행렬을 반전할 수 없음). 2 x 2 행렬의 행렬식을 찾는 방법은 다음과 같습니다.
- 2 x 2 매트릭스: 행렬의 행렬식 ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ad - bc와 같습니다. 즉, 주 대각선 요소의 곱(왼쪽 위 및 오른쪽 아래 모서리 통과)에서 다른 대각선(오른쪽 위 및 왼쪽 아래 모서리 통과) 요소의 곱을 뺍니다.
- 예를 들어, 행렬의 행렬식 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ 는 (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13과 같습니다. 행렬식은 0이 아니므로 이 행렬은 반전될 수 있습니다.
5 더 큰 행렬의 행렬식을 찾습니다. 행렬의 크기가 3 x 3 이상이면 행렬식을 계산하기가 약간 더 어렵습니다.
- 3 x 3 매트릭스: 항목을 선택하고 해당 항목이 있는 행과 열에 줄을 긋습니다.결과 2 × 2 행렬의 행렬식을 찾은 다음 선택한 요소와 곱합니다. 특수 테이블에서 행렬식의 부호를 지정합니다. 선택한 항목과 동일한 행이나 열에 있는 다른 두 항목에 대해 이 프로세스를 반복합니다. 그런 다음 수신된 (세) 행렬식의 합을 찾으십시오. 3 x 3 행렬의 행렬식을 찾는 방법에 대한 자세한 내용은 이 기사를 읽으십시오.
- 큰 행렬: 그러한 행렬의 행렬식은 그래프 계산기나 소프트웨어를 사용하여 가장 잘 찾을 수 있습니다. 이 방법은 3 × 3 행렬의 행렬식을 찾는 방법과 유사하지만 수동으로 적용하는 것이 다소 지루합니다. 예를 들어, 4 x 4 행렬의 행렬식을 찾으려면 4개의 3 x 3 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다.
6 계산을 계속하십시오. 행렬이 정사각형이 아니거나 행렬식의 행렬식이 0인 경우 "명확한 솔루션 없음"이라고 쓰십시오. 즉, 계산 프로세스가 완료됩니다. 행렬이 정사각형이고 0이 아닌 행렬식이 있는 경우 다음 섹션으로 건너뜁니다.

2/3부: 역행렬 찾기

1 2 x 2 행렬의 주대각선 요소를 바꿉니다. 2 × 2 행렬이 주어지면 빠른 역 방법을 사용하십시오. 먼저 왼쪽 상단 요소와 오른쪽 하단 요소를 바꿉니다. 예를 들어:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- 메모: 대부분의 사람들은 계산기를 사용하여 3 x 3(또는 더 큰) 행렬을 반전시킵니다. 이 작업을 수동으로 수행해야 하는 경우 이 섹션의 끝으로 이동합니다.
2 나머지 두 요소를 바꾸지 말고 부호를 변경하십시오. 즉, 오른쪽 상단 요소와 왼쪽 하단 요소를 -1로 곱합니다.
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 행렬식의 역수를 찾으십시오. 이 행렬의 행렬식은 이전 섹션에서 찾았으므로 다시 계산하지 않습니다. 행렬식의 역함수는 다음과 같이 작성됩니다. 1 / (행렬식):
- 이 예에서 행렬식은 13입니다. 역 값: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 결과 행렬에 행렬식의 역수를 곱합니다. 새 행렬의 각 요소에 행렬식의 역수를 곱합니다. 최종 행렬은 원래 2 x 2 행렬의 역행렬이 됩니다.
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} 끝 {pmatrix}}}$
5 계산이 올바른지 확인하십시오. 이렇게 하려면 원래 행렬에 역행렬을 곱합니다. 계산이 정확하면 역행렬에 의한 원래 행렬의 곱은 단위 행렬을 제공합니다. (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... 테스트에 성공하면 다음 섹션으로 진행합니다.
- 우리의 예에서: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {매트릭스}}}$ .
- 행렬을 곱하는 방법에 대한 자세한 내용은 이 기사를 읽으십시오.
- 참고: 행렬 곱셈의 연산은 가환성이 없습니다. 즉, 행렬의 순서가 중요합니다. 그러나 원래 행렬에 역행렬을 곱하면 모든 차수가 단위 행렬로 이어집니다.
6 3 x 3 행렬의 역행렬 찾기 (또는 더 큰). 이 과정에 이미 익숙하다면 그래프 계산기나 특수 소프트웨어를 사용하는 것이 좋습니다. 역행렬을 수동으로 찾아야 하는 경우 프로세스가 아래에 간략하게 설명되어 있습니다.
- 원래 행렬의 오른쪽에 있는 단위 행렬 I을 결합합니다. 예를 들어, [B] → [B | NS]. 단위 행렬의 경우 주대각선의 모든 요소는 1이고 다른 모든 요소는 0입니다.
- 행렬의 왼쪽이 계단형이 되도록 행렬을 단순화합니다. 왼쪽이 단위 행렬이 되도록 계속 단순화합니다.
- 단순화 후 행렬은 다음과 같은 형식을 취합니다. [I | NS]. 즉, 오른쪽은 원래 행렬의 역행렬입니다.

3/3부: 행렬 곱셈

1 두 가지 가능한 표현을 쓰십시오. 두 스칼라를 곱하는 연산은 가환적입니다. 즉, 2 x 6 = 6 x 2입니다.행렬 곱셈의 경우에는 그렇지 않으므로 두 식을 풀어야 할 수도 있습니다.
- NS = [A] * [B]는 방정식의 해입니다. NS[B] = [A].
- NS = [B] * [A]는 방정식 [B]의 해입니다.NS = [아].
- 방정식의 양변에 각 수학 연산을 수행합니다. [A] = [C]이면 [B] [A] ≠ [C] [B]입니다. [B]가 [A]의 왼쪽에 있지만 [C]의 오른쪽에 있기 때문입니다.
2 최종 행렬의 크기를 결정합니다. 최종 행렬의 크기는 곱한 행렬의 크기에 따라 다릅니다. 최종 행렬의 행 개수는 첫 번째 행렬의 행 개수와 같고, 마지막 행렬의 열 개수는 두 번째 행렬의 열 개수와 같습니다.
- 이 예에서 두 행렬의 크기는 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ 그리고 ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} 끝 {pmatrix}}}$ 는 2 x 2이므로 원래 행렬의 크기는 2 x 2가 됩니다.
- 더 복잡한 예를 고려하십시오. 행렬 [A]의 크기가 4 x 3이고 행렬 [B]의 크기는 3 x 3, 그러면 최종 행렬 [A] * [B]는 4 x 3이 됩니다.
3 첫 번째 요소의 값을 찾습니다. 이 문서를 읽거나 다음 기본 단계를 기억하십시오.
- 마지막 행렬 [A][B]의 첫 번째 요소(첫 번째 행, 첫 번째 열)를 찾으려면 행렬 [A]의 첫 번째 행 요소와 행렬 [B]의 첫 번째 열 요소의 내적을 계산합니다. ]. 2 x 2 행렬의 경우 내적은 다음과 같이 계산됩니다. ${ 디스플레이 스타일 a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- 우리의 예에서: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... 따라서 최종 행렬의 첫 번째 요소는 다음 요소가 됩니다.
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ 표시 스타일 = 3 + -4}$
  ${ 표시 스타일 = -1}$
4 계속해서 내적을 계산하여 최종 행렬의 각 요소를 찾습니다. 예를 들어, 두 번째 행과 첫 번째 열에 위치한 요소는 행렬 [A]의 두 번째 행과 행렬 [B]의 첫 번째 열의 내적과 같습니다. 나머지 항목을 직접 찾아보십시오. 다음과 같은 결과를 얻어야 합니다.
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 끝 {pmatrix}}}$
- 다른 솔루션을 찾아야 하는 경우: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 종료 {pmatrix}}}$

팁

행렬은 스칼라로 나눌 수 있습니다. 이를 위해 행렬의 각 요소는 스칼라로 나뉩니다.
- 예를 들어 행렬이 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2로 나누면 행렬을 얻습니다. ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$