삼각 방정식을 푸는 방법

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단계

삼각 방정식에는 변수 "x"(또는 다른 변수)의 삼각 함수가 하나 이상 포함됩니다. 삼각 방정식을 푸는 것은 함수와 방정식을 전체적으로 만족시키는 값 "x"를 찾는 것입니다.

삼각 방정식의 해는 도 또는 라디안으로 표시됩니다. 예:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45도; x = 37.12도; x = 178.37도.

참고: 라디안으로 표시되는 각도와 각도로 표시되는 각도의 삼각 함수 값은 동일합니다. 반지름이 1인 삼각 원은 삼각 함수를 설명하고 기본 삼각 방정식 및 부등식의 솔루션의 정확성을 확인하는 데 사용됩니다.
삼각 방정식의 예:
- 죄 x + 죄 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
- cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

반지름이 1인 삼각 원(단위 원).
- 반지름이 1이고 중심이 O인 원입니다. 단위 원은 변수 "x"의 4가지 기본 삼각 함수를 설명합니다. 여기서 "x"는 X축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 측정한 각도입니다.
- "x"가 단위 원의 일부 각도인 경우:
- 수평 축 OAx는 함수 F(x) = cos x를 정의합니다.
- 수직축 OBy는 함수 F(x) = sin x를 정의합니다.
- 수직 축 AT는 함수 F(x) = tan x를 정의합니다.
- 수평 축 BU는 함수 F(x) = ctg x를 정의합니다.

단위 원은 기본 삼각 방정식과 부등식을 푸는 데에도 사용됩니다("x"의 다른 위치가 고려됨).

단계

1 삼각 방정식을 푸는 개념.
- 삼각 방정식을 풀려면 하나 이상의 기본 삼각 방정식으로 변환하십시오. 삼각 방정식을 푸는 것은 궁극적으로 네 가지 기본 삼각 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.
2 기본 삼각 방정식을 풉니다.
- 기본 삼각 방정식에는 4가지 유형이 있습니다.
- 죄 x = a; 코사인 x = 에이
- tg x = 에이; CTG x = 에이
- 기본 삼각 방정식을 푸는 것은 단위 원의 다른 x 위치를 보고 변환표(또는 계산기)를 사용하는 것을 포함합니다.
- 예 1. sin x = 0.866. 변환표(또는 계산기)를 사용하면 x = π / 3이라는 답을 얻을 수 있습니다. 단위 원은 또 다른 답을 제공합니다: 2π / 3. 기억하십시오 : 모든 삼각 함수는 주기적입니다. 즉, 해당 값이 반복됩니다. 예를 들어, sin x와 cos x의 주기성은 2πn이고 tg x와 ctg x의 주기성은 πn입니다. 따라서 답변은 다음과 같이 작성됩니다.
- x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
- 예 2.cos x = -1/2. 변환표(또는 계산기)를 사용하면 x = 2π / 3이라는 답을 얻을 수 있습니다. 단위 원은 또 다른 답을 제공합니다: -2π / 3.
- x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
- 예 3.tg(x - π / 4) = 0.
- 답: x = π / 4 + πn.
- 예 4. ctg 2x = 1.732.
- 답: x = π / 12 + πn.
3 삼각 방정식을 푸는 데 사용되는 변환.
- 삼각 방정식을 변환하기 위해 대수 변환(인수분해, 동차 항의 축소 등)과 삼각 항등식이 사용됩니다.
- 예 5. 삼각 항등식을 사용하여 방정식 sin x + sin 2x + sin 3x = 0은 방정식 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0으로 변환됩니다. 따라서 다음을 수행해야 합니다. 다음 기본 삼각 방정식을 풉니다. cos x = 0; 죄 (3x / 2) = 0; 코사인 (x / 2) = 0.
4 알려진 함수 값에서 각도 찾기.
- 삼각 방정식을 푸는 방법을 배우기 전에 알려진 함수 값에서 각도를 찾는 방법을 배워야 합니다. 이것은 변환표나 계산기를 사용하여 수행할 수 있습니다.
- 예: cos x = 0.732. 계산기는 답 x = 42.95도를 줄 것입니다. 단위 원은 추가 각도를 제공하며 그 코사인도 0.732입니다.
5 단위 원에 솔루션을 따로 둡니다.
- 단위 원의 삼각 방정식에 대한 솔루션을 연기할 수 있습니다. 단위 원에 대한 삼각 방정식의 해는 정다각형의 꼭짓점입니다.
- 예: 단위 원의 해 x = π / 3 + πn / 2는 정사각형의 꼭짓점입니다.
- 예: 단위 원의 해 x = π / 4 + πn / 3은 정육각형의 꼭짓점을 나타냅니다.
6 삼각 방정식을 푸는 방법.
- 주어진 삼각 방정식에 삼각 함수가 하나만 포함된 경우 해당 방정식을 기본 삼각 방정식으로 풉니다.주어진 방정식에 두 개 이상의 삼각 함수가 포함된 경우 이러한 방정식을 푸는 방법은 변환 가능성에 따라 2가지가 있습니다.
  - 방법 1.
- 이 방정식을 f(x) * g(x) * h(x) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 여기서 f(x), g(x), h(x)는 기본 삼각 방정식입니다.
- 예제 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
- 해결책. 이중 각 공식 sin 2x = 2 * sin x * cos x를 사용하여 sin 2x를 바꿉니다.
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. 이제 두 가지 기본 삼각 방정식인 cos x = 0 및 (sin x + 1) = 0을 풉니다.
- 예 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
- 솔루션: 삼각 항등식을 사용하여 이 방정식을 cos 2x (2cos x + 1) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 이제 두 가지 기본 삼각 방정식인 cos 2x = 0 및 (2cos x + 1) = 0을 풉니다.
- 예 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
- 솔루션: 삼각 항등식을 사용하여 이 방정식을 -cos 2x * (2sin x + 1) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 이제 두 가지 기본 삼각 방정식을 풉니다. cos 2x = 0 및 (2sin x + 1) = 0.
  - 방법 2.
- 주어진 삼각 방정식을 하나의 삼각 함수만 포함하는 방정식으로 변환합니다. 그런 다음 이 삼각 함수를 알 수 없는 것으로 대체합니다(예: t(sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg(x / 2) = t 등).
- 예 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
- 해결책. 이 방정식에서 (cos ^ 2 x)를 (1 - sin ^ 2 x)(식별 기준)로 바꿉니다. 변환된 방정식은 다음과 같습니다.
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x를 t로 바꿉니다. 이제 방정식은 다음과 같습니다. 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. 이것은 t1 = -1 및 t2 = 9/5의 두 근을 갖는 이차 방정식입니다. 두 번째 루트 t2는 함수의 값 범위(-1 sin x 1)를 충족하지 않습니다. 이제 결정하십시오. t = sin x = -1; x = 3π / 2.
- 예 10.tg x + 2tg ^ 2 x = ctg x + 2
- 해결책. tg x를 t로 바꿉니다. 원래 방정식을 다음과 같이 다시 작성하십시오. (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. 이제 t를 찾은 다음 t = tg x에 대해 x를 찾습니다.
7 특수 삼각 방정식.
- 특정 변환이 필요한 몇 가지 특수 삼각 방정식이 있습니다. 예:
- a * 죄 x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
- a * 죄 ^ 2 x + b * 죄 x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8 삼각 함수의 주기성.
- 앞에서 언급했듯이 모든 삼각 함수는 주기적입니다. 즉, 해당 값은 특정 기간 후에 반복됩니다. 예:
  - 함수 f(x) = sin x의 주기는 2π입니다.
  - 함수 f(x) = tan x의 주기는 π와 같습니다.
  - 함수 f(x) = sin 2x의 주기는 π입니다.
  - 함수 f(x) = cos(x / 2)의 주기는 4π입니다.
- 문제에 기간이 지정되어 있으면 이 기간 내에 값 "x"를 계산합니다.
- 참고: 삼각 방정식을 푸는 것은 쉬운 일이 아니며 종종 오류가 발생합니다. 따라서 답변을 주의 깊게 확인하십시오. 이를 위해 그래프 계산기를 사용하여 주어진 방정식 R(x) = 0을 그릴 수 있습니다. 이러한 경우 솔루션은 소수로 표시됩니다(즉, π는 3.14로 대체됨).