2 차 방정식 인수

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단계로
시작
6 가지 방법 중 1 : 시행 착오
6 가지 방법 중 2 : 분해
6 가지 방법 중 3 : 트리플 플레이
6 가지 방법 중 4 : 두 사각형의 차이
6 가지 방법 중 5 : ABC 공식
6 가지 방법 중 6 : 계산기 사용
팁
경고
필수품

다항식에는 특정 거듭 제곱에 대한 변수 (x)와 여러 항 및 / 또는 상수가 포함됩니다. 다항식을 인수 분해하려면 식을 곱한 더 작은 식으로 분할해야합니다. 이것은 특정 수준의 수학이 필요하므로 아직 멀지 않은 경우 이해하기 어려울 수 있습니다.

단계로

시작

방정식. 2 차 방정식의 표준 형식은 다음과 같습니다.

도끼 + bx + c = 0
방정식의 항을 가장 높은 거듭 제곱에서 가장 낮은 거듭 제곱으로 배열하여 시작하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다.

6 + 6x + 13x = 0
이 표현식의 순서를 변경하여 작업하기 쉽게 만들 것입니다.-간단히 용어를 이동하면됩니다.

6x + 13x + 6 = 0
아래 방법 중 하나를 사용하여 요인을 찾으십시오. 다항식을 인수 분해하면 원래 다항식을 얻기 위해 함께 곱할 수있는 두 개의 더 작은 표현식이 생성됩니다.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
이 예에서 (2x +3) 및 (3x + 2)는 요인 원래 표현에서 6x + 13x + 6.
작업을 확인하십시오! 찾은 요인을 곱하십시오. 동일한 용어를 결합하면 완료됩니다. 시작 :

(2x + 3) (3x + 2)
EBBL (첫 번째-외부-내부-마지막)을 사용하여 항을 곱하여이를 테스트 해 보겠습니다.

6 배 + 4 배 + 9 배 + 6
이제 우리는 4x와 9x가 같은 항이기 때문에 함께 더합니다. 우리는 우리가 시작한 방정식을 되찾았 기 때문에 요인이 정확하다는 것을 압니다.

6 배 + 13 배 + 6

6 가지 방법 중 1 : 시행 착오

상당히 간단한 다항식을 가지고 있다면 요인이 무엇인지 즉시 볼 수있을 것입니다. 예를 들어, 몇 가지 연습 후에 많은 수학자들이 다음 표현을 볼 수 있습니다. 4 배 + 4 배 + 1 (2x + 1)과 (2x + 1)의 요인이 있습니다. (분명히 더 복잡한 다항식으로는 그렇게 쉽지 않을 것입니다.)이 예제에 대해 덜 표준적인 표현을 봅시다 :

3 배 + 2 배-8

요인을 적어 ㅏ 용어 및 씨 기간. 형식 사용 도끼 + bx + c = 0, 인식 ㅏ 과 씨 어떤 요소가 있는지 확인하십시오. 3x + 2x-8의 경우 다음을 의미합니다.

a = 3이고 1 쌍의 요인이 있습니다. 1 * 3
c = -8이고 여기에는 -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 및 -1 * 8의 4 쌍의 인수가 있습니다.
빈 공간으로 두 쌍의 괄호를 적으십시오. 여기에 각 표현식의 상수를 입력합니다.

(x) (x)
x 앞의 공간을 다음의 가능한 여러 요인으로 채 웁니다. ㅏ 값. 에 대한 ㅏ 이 예에서 용어 3x, 가능성은 1 개뿐입니다.

(3 배) (1 배)
상수에 대한 몇 가지 요인으로 x 뒤의 2 개의 공백을 채 웁니다. 8과 1을 선택한다고 가정합니다. 다음을 입력하십시오.

(3 배8)(엑스1)
x 변수와 숫자 사이에 어떤 기호 (더하기 또는 빼기)가 있어야하는지 결정합니다. 원래 표현식의 문자에 따라 상수의 문자가 무엇인지 알아낼 수 있습니다. 두 요소의 두 상수를 취합시다 h 과 케이 언급 :

ax + bx + c이면 (x + h) (x + k)
ax-bx-c 또는 ax + bx-c이면 (x-h) (x + k)
ax-bx + c이면 (x-h) (x-k)
예를 들어 3x + 2x-8에서 부호는 (x-h) (x + k)이며 다음 두 가지 요소를 제공합니다.

(3x + 8) 및 (x-1)
첫 번째 외부 내부 마지막 곱셈으로 선택을 테스트하십시오. 중간 용어가 최소한 올바른 값인지 확인하는 빠른 첫 번째 테스트입니다. 그렇지 않다면 아마 잘못된 것입니다. 씨 선택한 요인. 답을 테스트 해 보겠습니다.

(3x + 8) (x-1)
곱셈으로 우리는 다음을 얻습니다.

3 배-3 배 + 8 배-8
유사한 용어 (-3x) 및 (8x)를 추가하여이 표현식을 단순화하면 다음과 같이됩니다.

3x-3x + 8x-8 = 3x + 5x-8
이제 우리는 잘못된 요인을 취했음을 압니다.

3x + 5x-8 ≠ 3x + 2x-8
필요한 경우 선택 사항을 전환하십시오. 이 예에서는 1과 8 대신 2와 4를 시도해 보겠습니다.

(3x + 2) (x-4)
이제 우리 씨 용어는 -8과 같지만 (3x * -4) 및 (2 * x)의 외부 / 내적은 -12x 및 2x이며 이는 올바르지 않습니다. 비 기간 또는 + 2x.

-12 배 + 2 배 = 10 배
10x ≠ 2x
필요한 경우 순서를 반대로하십시오. 2와 4를 뒤집어 봅시다.

(3x + 4) (x-2)
이제 우리 씨 항 (4 * 2 = 8) 여전히 괜찮지 만 외부 / 내부 제품은 -6x 및 4x입니다. 이들을 결합하면 다음을 얻을 수 있습니다.

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x 이제 우리가 원하는 위치에 2x에 가까워지고 있지만 부호는 아직 정확하지 않습니다.
필요한 경우 문자를 다시 확인하십시오. 이 주문은 유지하지만 마이너스 기호로 바꿉니다.

(3x-4) (x + 2)
이제 씨 용어는 여전히 괜찮으며 외부 / 내부 제품은 이제 (6x) 및 (-4x)입니다. 때문에:

6x-4x = 2x
2x = 2x 이제 원래 문제에서 양의 2x를 볼 수 있습니다. 이것들이 올바른 요인이어야합니다.

6 가지 방법 중 2 : 분해

이 방법은 가능한 모든 요소를 제공합니다. ㅏ 과 씨 용어를 사용하고 어떤 요소가 올바른지 확인합니다. 숫자가 너무 크거나 다른 방법의 추측에 너무 오래 걸릴 경우이 방법을 사용하십시오. 예 :

6 배 + 13 배 + 6

곱하기 ㅏ 용어 씨 기간. 이 예에서 ㅏ 6이고 씨 또한 6입니다.

6 * 6 = 36
찾기 비 인수 분해 및 테스트에 의한 용어. 우리는 다음의 요인 인 2 개의 숫자를 찾고 있습니다. ㅏ * 씨 , 그리고 함께 비 용어 (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
방정식에서 얻은 두 숫자를 비 기간. 하자 케이 과 h 우리가 가진 2 개의 숫자, 4와 9를 나타냅니다.

도끼 + kx + hx + c
6 배 + 4 배 + 9 배 + 6
그룹화하여 다항식을 인수 분해하십시오. 처음 두 항과 마지막 두 항의 최대 공약수를 분리 할 수 있도록 방정식을 구성하십시오. 두 요소 모두 동일해야합니다. GGD를 함께 추가하고 요소 옆의 괄호 안에 배치하십시오. 결과적으로 두 가지 요소를 얻습니다.

6 배 + 4 배 + 9 배 + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

6 가지 방법 중 3 : 트리플 플레이

분해 방법과 유사합니다. "트리플 플레이"방법은 제품의 가능한 요소를 조사합니다. ㅏ 과 씨 그리고 그것을 사용하여 무엇을 비 있어야합니다. 방정식을 예로 들어 보겠습니다.

8 배 + 10 배 + 2

곱하기 ㅏ 용어 씨 기간. 분해 방법과 마찬가지로이를 사용하여 비 기간. 이 예에서 : ㅏ 8이고 씨 2입니다.

8 * 2 = 16
이 숫자를 곱하고 합계가 다음과 같은 2 개의 숫자를 찾으십시오. 비 기간. 이 단계는 분해 방법과 동일합니다. 상수에 대한 후보를 테스트합니다. 의 제품 ㅏ 과 씨 용어는 16이고 씨 기간은 10입니다.

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
이 2 개의 숫자를 "트리플 플레이"공식으로 대체하십시오. 이전 단계에서 가져온 2 개의 숫자를 가져옵니다. h 과 케이 그들을 부르고 표현에 넣으십시오.

((ax + h) (ax + k)) / a

이것으로 우리는 다음을 얻습니다.

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
분모의 두 용어 중 어떤 것이 완전히 나눌 수 있는지 확인하십시오. ㅏ. 이 예에서는 (8x + 8) 또는 (8x + 2)를 8로 나눌 수 있는지 확인합니다. (8x + 8)은 8로 나눌 수 있으므로이 항을 다음과 같이 나눕니다. ㅏ 나머지는 영향을받지 않은 채로 둡니다.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
여기에서 유지 한 용어는 다음과 같이 나눈 후 남아있는 용어입니다. ㅏ 용어 : (x + 1)
가능하면 한 항 또는 두 항 모두에서 최대 공약수 (gcd)를 사용하십시오. 이 예에서는 8x + 2 = 2 (4x + 1)이므로 두 번째 항의 gcd가 2임을 알 수 있습니다. 이 답변을 이전 단계에서 찾은 용어와 결합하십시오. 이것이 당신의 비교 요인입니다.

2 (x + 1) (4x + 1)

6 가지 방법 중 4 : 두 사각형의 차이

다항식의 일부 계수는 "제곱"또는 2 개의 동일한 숫자의 곱으로 인식 할 수 있습니다. 어떤 제곱이 무엇인지 알아 내면 다항식을 훨씬 더 빠르게 인수 할 수 있습니다. 우리는 방정식을 취합니다.

27x-12 = 0

가능하면 방정식에서 gcd를 제거하십시오. 이 경우 27과 12는 모두 3으로 나눌 수 있으므로 별도로 배치 할 수 있습니다.

27x-12 = 3 (9x-4)
방정식의 계수가 제곱인지 확인합니다. 이 방법을 사용하려면 용어의 근본을 결정해야합니다. (마이너스 기호는 생략했습니다.이 숫자는 정사각형이므로 2 개의 음수의 곱일 수 있습니다.)

9x = 3x * 3x 및 4 = 2 * 2
결정한 제곱근을 사용하여 이제 요인을 작성할 수 있습니다. 우리는 ㅏ 과 씨 이전 단계의 값 : ㅏ = 9 및 씨 = 4이므로 이것의 근본은 다음과 같습니다.-√ㅏ = 3 및 √씨 = 2. 인수 분해 된 식의 계수는 다음과 같습니다.

27x-12 = 3 (9x-4) = 3 (3x + 2) (3x-2)

6 가지 방법 중 5 : ABC 공식

아무것도 작동하지 않는 것 같고 방정식을 풀 수 없으면 abc 공식을 사용하십시오. 다음 예를 살펴보십시오.

x + 4x + 1 = 0

abc 공식에 해당 값을 입력하십시오.

x = -b ± √ (b-4ac)
---------------------
2a
이제 식을 얻습니다.

x = -4 ± √ (4-4 • 1 • 1) / 2
x를 구하십시오. 이제 x에 대해 2 개의 값을 얻어야합니다. 이것들은:

x = -2 + √ (3) 또는 x = -2-√ (3)
x의 값을 사용하여 요인을 결정하십시오. 두 방정식에서 얻은 x 값을 상수로 입력하십시오. 이것이 당신의 요인입니다. 우리가 두 가지에 대답하면 h 과 케이 다음과 같이 두 가지 요소를 기록합니다.

(x-h) (x-k)
이 경우 최종 답변은 다음과 같습니다.

(x-(-2 + √ (3)) (x-(-2-√ (3)) = (x + 2-√ (3)) (x + 2 + √ (3))

6 가지 방법 중 6 : 계산기 사용

그래프 계산기를 사용하는 것이 허용 (또는 필수) 인 경우, 특히 시험 및 시험에서 인수 분해가 훨씬 쉬워집니다. 다음 지침은 TI 그래프 계산기에 대한 것입니다. 예제의 방정식을 사용합니다.

y = x-x-2

계산기에 방정식을 입력하십시오. [Y =] 화면이라고도하는 방정식 솔버를 사용하게됩니다.
계산기로 방정식을 그래프로 작성하십시오. 방정식을 입력 한 후 [GRAPH]를 누릅니다. 이제 방정식의 그래픽 표현으로 곡선 인 포물선이 표시됩니다 (그리고 다항식을 다루기 때문에 포물선입니다).
포물선이 x 축과 교차하는 위치를 찾습니다. 이차 방정식은 전통적으로 ax + bx + c = 0으로 작성되기 때문에 방정식을 0으로 만드는 두 x 값입니다.

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- 포물선이 x 축과 교차하는 위치가 보이지 않으면 [2nd]를 누른 다음 [TRACE]를 누릅니다. [2]를 누르거나 "제로"를 선택하십시오. 교차로의 왼쪽으로 커서를 이동하고 [ENTER]를 누릅니다. 커서를 교차로의 오른쪽으로 이동하고 [ENTER]를 누릅니다. 커서를 가능한 한 교차점에 가깝게 이동하고 [ENTER]를 누릅니다. 계산기는 x 값을 표시합니다. 다른 교차로에도이 작업을 수행하십시오.
얻은 x 값을 두 팩터 식에 입력하십시오. 두 개의 x 값을 취하면 h 과 케이 용어로 사용하는 표현은 다음과 같습니다.

(x-h) (x-k) = 0
따라서 두 가지 요소는 다음과 같습니다.

(x-(-1)) (x-2) = (x + 1) (x-2)