코사인 정리를 사용하는 방법

작가: Ellen Moore
창조 날짜: 16 1 월 2021
업데이트 날짜: 1 칠월 2024
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#1. 측량기초 - 삼각비의 이해 (sin, cos, tan)
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코사인 정리는 삼각법에서 널리 사용됩니다. 변과 각도와 같은 미지의 양을 찾기 위해 불규칙한 삼각형으로 작업할 때 사용됩니다. 정리는 피타고라스 정리와 유사하며 기억하기 쉽습니다. 코사인 정리는 모든 삼각형에서 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}.


단계

방법 1/3: 미지의 면을 찾는 방법

  1. 1 알려진 값을 기록하십시오. 삼각형의 미지의 변을 찾으려면 다른 두 변과 그 사이의 각도를 알아야 합니다.
    • 예를 들어 삼각형 XYZ가 있다고 가정합니다. YX 측면은 5cm, YZ 측면은 9cm, Y 각도는 89°입니다. XZ 쪽은 무엇입니까?
  2. 2 코사인 정리 공식을 작성하십시오. 공식: 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}, 어디 씨{ 디스플레이 스타일 c} - 알 수 없는 당사자, 코사인⁡씨{ displaystyle cos {C}} - 미지의 변과 반대되는 각도의 코사인, NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b} - 잘 알려진 두 가지 측면.
  3. 3 알려진 값을 공식에 ​​연결하십시오. 변수 NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b} 알려진 두 면을 나타냅니다. 변하기 쉬운 씨{ 디스플레이 스타일 C} 는 측면 사이에 있는 알려진 각도입니다. NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b}.
    • 이 예에서 XZ 쪽은 알려지지 않았으므로 공식에서 다음과 같이 표시됩니다. 씨{ 디스플레이 스타일 c}... 변 YX와 YZ를 알고 있으므로 변수로 표시합니다. NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b}... 변하기 쉬운 씨{ 디스플레이 스타일 C} 각도 Y입니다. 따라서 공식은 다음과 같이 작성됩니다. 씨2=52+92−2(5)(9)코사인⁡89{ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}.
  4. 4 알려진 각도의 코사인을 찾습니다. 계산기로 해보세요. 각도 값을 입력한 다음 씨영형NS{ 디스플레이 스타일 COS}... 공학용 계산기가 없다면 여기에서 온라인 코사인 테이블을 찾으십시오. 또한 Yandex에서 "X도의 코사인"(X의 각도 값 대체)을 입력하면 검색 엔진에 각도의 코사인이 표시됩니다.
    • 예를 들어 코사인은 89 ° ≈ 0.01745입니다. 그래서: 씨2=52+92−2(5)(9)(0,01745){ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}.
  5. 5 숫자를 곱합니다. 곱하다 2NSNS{ 디스플레이 스타일 2ab} 알려진 각도의 코사인.
    • 예를 들어:
      씨2=52+92−2(5)(9)(0,01745){ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}
      씨2=52+92−1,5707{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}
  6. 6 알려진면의 사각형을 접으십시오. 숫자를 제곱하려면 자신을 곱해야 합니다. 먼저 해당 숫자를 제곱한 다음 결과 값을 더합니다.
    • 예를 들어:
      씨2=52+92−1,5707{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}
      씨2=25+81−1,5707{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}
      씨2=106−1,5707{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 106-1.5707}
  7. 7 두 숫자를 뺍니다. 당신은 발견 할 것이다 씨2{ 디스플레이 스타일 c ^ {2}}.
    • 예를 들어:
      씨2=106−1,5707{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 106-1.5707}
      씨2=104,4293{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 104.4293}
  8. 8 이 값의 제곱근을 취하십시오. 이렇게하려면 계산기를 사용하십시오. 이것이 미지의 면을 찾는 방법입니다.
    • 예를 들어:
      씨2=104,4293{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 104.4293}
      씨2=104,4293{ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}
      씨=10,2191{ 디스플레이 스타일 c = 10.2191}
      따라서 미지의 변은 10.2191cm입니다.

방법 2/3: 알 수 없는 각도 찾기

  1. 1 알려진 값을 기록하십시오. 삼각형의 미지의 각을 찾으려면 삼각형의 세 변을 모두 알아야 합니다.
    • 예를 들어 삼각형 RST가 주어집니다. 측면 CP = 8cm, ST = 10cm, PT = 12cm.각도 S의 값을 찾으십시오.
  2. 2 코사인 정리 공식을 작성하십시오. 공식: 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}, 어디 코사인⁡씨{ displaystyle cos {C}} - 미지의 각도의 코사인, 씨{ 디스플레이 스타일 c} - 알려지지 않은 모서리 반대편에 알려진 측면, NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b} - 다른 두 개의 유명한 파티.
  3. 3 값 찾기 NS{ 표시 스타일 a}, NS{ 디스플레이 스타일 b} 그리고 씨{ 디스플레이 스타일 c}. 그런 다음 공식에 연결하십시오.
    • 예를 들어, RT 쪽은 미지의 각도 S와 반대이므로 RT 쪽은 씨{ 디스플레이 스타일 c} 수식에서. 다른 당사자들은 NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b}... 따라서 수식은 다음과 같이 작성됩니다. 122=82+102−2(8)(10)코사인⁡씨{ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}.
  4. 4 숫자를 곱합니다. 곱하다 2NSNS{ 디스플레이 스타일 2ab} 미지의 각도의 코사인에 의해.
    • 예를 들어, 122=82+102−160코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}.
  5. 5 세우다 씨{ 디스플레이 스타일 c} 광장에서. 즉, 숫자 자체를 곱합니다.
    • 예를 들어, 144=82+102−160코사인⁡씨{ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}
  6. 6 사각형 접기 NS{ 표시 스타일 a} 그리고 NS{ 디스플레이 스타일 b}. 그러나 먼저 해당 숫자를 제곱하십시오.
    • 예를 들어:
      144=64+100−160코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 144 = 64 + 100-160 cos {C}}
      144=164−160코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 144 = 164-160 cos {C}}
  7. 7 미지의 각도의 코사인을 분리합니다. 이렇게하려면 금액을 빼십시오. NS2{ displaystyle a ^ {2}} 그리고 NS2{ 디스플레이 스타일 b ^ {2}} 방정식의 양쪽에서. 그런 다음 방정식의 각 변을 알 수 없는 각도의 코사인 인수로 나눕니다.
    • 예를 들어, 알 수 없는 각도의 코사인을 분리하려면 방정식의 양변에서 164를 뺀 다음 각 변을 -160으로 나눕니다.
      144−164=164−164−160코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 144-164 = 164-164-160 cos {C}}
      −20=−160코사인⁡씨{ displaystyle -20 = -160 cos {C}}
      −20−160=−160코사인⁡씨−160{ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}
      0,125=코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 0.125 = cos {C}}
  8. 8 역 코사인을 계산합니다. 이것은 미지의 각도의 값을 찾을 것입니다. 계산기에서 역 코사인 함수는 다음과 같이 표시됩니다. 씨영형NS−1{ 디스플레이 스타일 COS ^ {- 1}}.
    • 예를 들어, 0.0125의 아크코사인은 82.8192입니다. 따라서 각도 S는 82.8192 °입니다.

방법 3/3: 샘플 문제

  1. 1 삼각형의 미지의 면을 찾으십시오. 알려진 변은 20cm와 17cm이고 그 사이의 각도는 68°입니다.
    • 두 변과 그 사이의 각도가 주어지므로 코사인 정리를 사용할 수 있습니다. 공식을 기록하십시오: 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}.
    • 미지의 면은 씨{ 디스플레이 스타일 c}... 알려진 값을 공식에 ​​연결하십시오. 씨2=202+172−2(20)(17)코사인⁡68{ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}.
    • 계산하다 씨2{ 디스플레이 스타일 c ^ {2}}, 수학 연산의 순서 관찰:
      씨2=202+172−2(20)(17)코사인⁡68{ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}
      씨2=202+172−2(20)(17)(0,3746){ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}
      씨2=202+172−254,7325{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}
      씨2=400+289−254,7325{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}
      씨2=689−254,7325{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 689-254,7325}
      씨2=434,2675{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 434.2675}
    • 방정식의 양변에 제곱근을 취하십시오. 알려지지 않은 면을 찾는 방법은 다음과 같습니다.
      씨2=434,2675{ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}
      씨=20,8391{ 디스플레이 스타일 c = 20.8391}
      따라서 미지의 변은 20.8391cm입니다.
  2. 2 삼각형 GHI에서 각 H를 찾으십시오. 모서리 H에 인접한 두 변은 22cm와 16cm이고 모서리 H와 마주하는 변은 13cm입니다.
    • 세 변이 모두 주어졌기 때문에 코사인 정리를 사용할 수 있습니다. 공식을 기록하십시오: 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}.
    • 알 수 없는 모서리의 반대쪽은 씨{ 디스플레이 스타일 c}... 알려진 값을 공식에 ​​연결하십시오. 132=222+162−2(22)(16)코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}.
    • 결과 표현식을 단순화하십시오.
      132=222+162−704코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}
      132=484+256−704코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}
      169=484+256−704코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}
      169=740−704코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 169 = 740-704 cos {C}}
    • 코사인 분리:
      169−740=740−740−704코사인⁡씨{ 디스플레이 스타일 169-740 = 740-740-704 cos {C}}
      −571=−704코사인⁡씨{ displaystyle -571 = -704 cos {C}}
      −571−704=−704코사인⁡씨−704{ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}
      0,8111=코사인⁡씨{ displaystyle 0.8111 = cos {C}}
    • 역 코사인을 찾으십시오. 미지의 각도를 계산하는 방법은 다음과 같습니다.
      0,8111=코사인⁡씨{ displaystyle 0.8111 = cos {C}}
      35,7985=씨영형NS−1{ 디스플레이 스타일 35.7985 = COS ^ {- 1}}.
      따라서 각도 H는 35.7985 °입니다.
  3. 3 흔적의 길이를 찾으십시오. 강, 구릉 및 습지 경로는 삼각형을 형성합니다. River Trail의 길이는 3km, Hilly Trail의 길이는 5km입니다. 이 트레일은 135 °의 각도로 서로 교차합니다. 늪지 산책로는 다른 산책로의 두 끝을 연결합니다. Swamp Trail의 길이를 구하십시오.
    • 길은 삼각형을 이룬다. 삼각형의 변인 미지의 경로의 길이를 찾아야 합니다. 다른 두 경로의 길이와 그 사이의 각도가 주어지므로 코사인 정리를 사용할 수 있습니다.
    • 공식을 기록하십시오: 씨2=NS2+NS2−2NSNS코사인⁡씨{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}.
    • 알 수 없는 경로(Swamp)는 다음과 같이 표시됩니다. 씨{ 디스플레이 스타일 c}... 알려진 값을 공식에 ​​연결하십시오. 씨2=32+52−2(3)(5)코사인⁡135{ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}.
    • 계산하다 씨2{ 디스플레이 스타일 c ^ {2}}:
      씨2=32+52−2(3)(5)코사인⁡135{ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}
      씨2=32+52−2(3)(5)(−0,7071){ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}
      씨2=32+52−(−21,2132){ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}
      씨2=9+25+21,2132{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}
      씨2=55,2132{ 디스플레이 스타일 c ^ {2} = 55.2132}
    • 방정식의 양변에 제곱근을 취하십시오. 알 수 없는 경로의 길이를 찾는 방법은 다음과 같습니다.
      씨2=55,2132{ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}
      씨=7,4306{ 디스플레이 스타일 c = 7.4306}
      따라서 Swamp Trail의 길이는 7.4306km입니다.

팁

  • 사인 정리를 사용하는 것이 더 쉽습니다. 따라서 주어진 문제에 적용할 수 있는지 먼저 확인하십시오.

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