콘텐츠

• 예비 정보
• 단계
• 파트 1/3: 기본 사항
• 파트 2/3: 라플라스 변환의 속성
• 3/3부: 급수 확장으로 라플라스 변환 찾기

라플라스 변환은 상수 계수가 있는 미분 방정식을 푸는 데 사용되는 적분 변환입니다. 이 변환은 물리학 및 공학에서 널리 사용됩니다.

적절한 표를 사용할 수 있지만 필요한 경우 직접 수행할 수 있도록 라플라스 변환을 이해하는 것이 도움이 됩니다.

예비 정보

• 주어진 기능 ${ 디스플레이 스타일 f(t)}$에 대해 정의 ${ displaystyle tgeq 0.}$ 그 다음에 라플라스 변환 함수 ${ 디스플레이 스타일 f(t)}$ 각 값의 다음 함수입니다. ${ 디스플레이 스타일 s}$, 적분 수렴:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} NS}$
• 라플라스 변환은 t 영역(시간 척도)에서 s 영역(변환 영역)으로의 함수를 사용합니다. 여기서 ${ displaystyle F (s)}$ 복소수 변수의 복소수 함수입니다. 솔루션을 더 쉽게 찾을 수 있는 영역으로 기능을 이동할 수 있습니다.
• 분명히 라플라스 변환은 선형 연산자이므로 항의 합을 처리하는 경우 각 적분을 별도로 계산할 수 있습니다.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• 라플라스 변환은 적분이 수렴하는 경우에만 작동한다는 것을 기억하십시오. 기능의 경우 ${ 디스플레이 스타일 f(t)}$ 불연속성이 있으므로 불확실성을 피하기 위해 적분 한계를 신중하고 정확하게 설정해야 합니다.

단계

파트 1/3: 기본 사항

1. 1 함수를 라플라스 변환 공식에 대입합니다. 이론적으로 함수의 라플라스 변환은 계산하기가 매우 쉽습니다. 예를 들어 기능을 고려하십시오. ${ 디스플레이 스타일 f(t) = e ^ {at}}$, 어디 ${ 표시 스타일 a}$ 는 복소수 상수입니다. ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 사용 가능한 방법을 사용하여 적분을 추정합니다. 이 예에서 추정은 매우 간단하며 간단한 계산으로 얻을 수 있습니다. 더 복잡한 경우에는 더 복잡한 방법이 필요할 수 있습니다(예: 부분에 의한 적분 또는 적분 기호 아래의 미분). 제약 조건 ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ 적분이 수렴한다는 것을 의미합니다. 즉, 그 값은 다음과 같이 0이 되는 경향이 있습니다. ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} 끝 {정렬}}}$
   • 이것은 오일러의 공식에 따라 사인과 코사인을 사용하여 두 가지 유형의 라플라스 변환을 제공합니다. ${ displaystyle e ^ {iat}}$... 이 경우 분모에서 우리는 ${ displaystyle s-ia,}$ 실제 부분과 허수 부분을 결정하는 것만 남아 있습니다. 결과를 직접 평가할 수도 있지만 시간이 조금 더 걸립니다.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} 왼쪽 ({ frac {1} {s-ia}} 오른쪽) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} 왼쪽 ({ frac {1} {s-ia}} 오른쪽) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 거듭제곱 함수의 라플라스 변환을 고려하십시오. 먼저, 선형성 속성을 사용하여 변환을 찾을 수 있으므로 거듭제곱 함수의 변환을 정의해야 합니다. 모든 다항식. 형태의 함수 ${ 디스플레이 스타일 t ^ {n},}$ 어디 ${ 디스플레이 스타일 n}$ - 임의의 양의 정수. 재귀 규칙을 정의하기 위해 조각별로 통합할 수 있습니다.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • 이 결과는 묵시적으로 표현되지만 여러 값을 대입하면 ${ 디스플레이 스타일 n,}$ 특정 패턴을 설정할 수 있습니다(직접 시도). 그러면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • 감마 함수를 사용하여 분수 거듭제곱의 라플라스 변환을 정의할 수도 있습니다. 예를 들어, 이런 식으로 다음과 같은 함수의 변환을 찾을 수 있습니다. ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { 감마 (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { 감마 (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { 파이}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • 분수 거듭제곱이 있는 함수에는 잘라내기가 있어야 하지만(복소수는 ${ 디스플레이 스타일 z}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 알파}$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. ${ 디스플레이 스타일 z ^ { 알파}}$, 왜냐하면 ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {로그} z}}$), 절단이 왼쪽 절반 평면에 놓이도록 항상 정의할 수 있으므로 분석 문제를 피할 수 있습니다.

파트 2/3: 라플라스 변환의 속성

1. 1 를 곱한 함수의 라플라스 변환을 구해 보겠습니다. 이자형NSNS{ displaystyle e ^ {at}}. 이전 섹션에서 얻은 결과를 통해 라플라스 변환의 몇 가지 흥미로운 속성을 찾을 수 있었습니다. 코사인, 사인, 지수 함수와 같은 함수의 라플라스 변환은 거듭제곱 함수 변환보다 간단해 보입니다. 곱하기 ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-영역에서 옮기다 s-영역에서:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F(사)}$
   • 이 속성을 사용하면 다음과 같은 함수의 변환을 즉시 찾을 수 있습니다. ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, 적분을 계산할 필요 없이:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 를 곱한 함수의 라플라스 변환을 구해 보겠습니다. NSNS{ 디스플레이 스타일 t ^ {n}}. 먼저 곱셈을 고려하십시오. ${ 디스플레이 스타일 t}$... 정의에 따르면, 적분 아래에서 함수를 미분하고 놀라울 정도로 간단한 결과를 얻을 수 있습니다.
   • ${ displaystyle { 시작 {정렬} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { 부분} { 부분 s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {정렬}}}$
   • 이 작업을 반복하여 최종 결과를 얻습니다.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • 적분 및 미분 연산자를 재배열하는 데는 몇 가지 추가 정당성이 필요하지만 여기에서는 제시하지 않겠지만 최종 결과가 의미가 있는 경우에만 이 연산이 정확하다는 점에 유의하십시오. 변수라는 사실도 고려할 수 있습니다. ${ 디스플레이 스타일 s}$ 그리고 ${ 디스플레이 스타일 t}$ 서로 의존하지 마십시오.
   • 이 규칙을 사용하면 다음과 같은 함수의 변환을 쉽게 찾을 수 있습니다. ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, 부품별 재통합 없이:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 함수의 라플라스 변환 찾기 NS(NSNS){ displaystyle f (at)}. 변환 정의를 사용하여 변수를 u로 바꾸면 쉽게 수행할 수 있습니다.
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F 왼쪽({ frac {s} {a}} 오른쪽) 끝 {정렬}}}$
   • 위에서 함수의 라플라스 변환을 찾았습니다. ${ displaystyle sin at}$ 그리고 ${ displaystyle cos at}$ 지수 함수에서 직접. 이 속성을 사용하여 실수부와 허수부를 찾으면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 도함수의 라플라스 변환 찾기 NS′(NS){ 디스플레이 스타일 f ^ { 프라임} (t)}. 이 경우에는 앞의 예와 달리 해야 조각으로 통합:
   • ${ displaystyle { 시작 {정렬} { mathcal {L}} {f ^ { 소수} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { 소수} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { 소수} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} 큰 _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF(s) -f(0) 끝 {정렬}}}$
   • 2차 도함수는 많은 물리적 문제에서 발생하므로 이에 대한 라플라스 변환도 찾습니다.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { 소수 소수} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { 소수} (0) }$
   • 일반적인 경우, n차 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같이 정의됩니다(이를 통해 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풀 수 있음).
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3/3부: 급수 확장으로 라플라스 변환 찾기

1. 1 주기 함수에 대한 라플라스 변환을 구해 봅시다. 주기 함수가 조건을 충족합니다. ${ 디스플레이 스타일 f(t) = f(t + nT),}$ 어디 ${ 디스플레이 스타일 T}$ 는 함수의 기간이고, ${ 디스플레이 스타일 n}$ 양의 정수입니다. 주기 함수는 신호 처리 및 전기 공학을 포함한 많은 응용 분야에서 널리 사용됩니다. 간단한 변환을 사용하여 다음 결과를 얻습니다.
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { 정렬}}}$
   • 보시다시피 주기 함수의 경우 한 주기 동안 라플라스 변환을 수행하면 충분합니다.
2. 2 자연 로그에 대해 라플라스 변환을 수행합니다. 이 경우 적분은 기본 함수의 형태로 표현할 수 없습니다. 감마 함수와 해당 계열 확장을 사용하면 자연 로그와 그 차수를 추정할 수 있습니다. 오일러-마스케로니 상수의 존재 ${ displaystyle 감마}$ 이 적분을 추정하려면 급수 전개를 사용할 필요가 있음을 보여줍니다.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 정규화되지 않은 sinc 함수의 라플라스 변환을 고려하십시오. 함수 ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ 신호 처리에 널리 사용되며 미분 방정식에서 1종 구면 베셀 함수와 동일하며 0차 ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ 이 함수의 라플라스 변환도 표준 방법으로 계산할 수 없습니다. 이 경우 거듭제곱 함수인 급수의 개별 구성원에 대한 변환이 수행되므로 해당 변환은 반드시 지정된 간격으로 수렴됩니다.
   • 먼저 Taylor 급수에서 함수의 확장을 작성합니다.
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • 이제 우리는 이미 알려진 거듭제곱 함수의 라플라스 변환을 사용합니다. 계승이 취소되고 결과적으로 아크탄젠트에 대한 Taylor 확장, 즉 사인에 대한 Taylor 급수와 유사하지만 계승이 없는 교대 급수를 얻습니다.
     • ${ displaystyle { 시작 {정렬} { mathcal {L}} 왼쪽 {{ frac { sin t} {t}} 오른쪽 } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} 끝 {정렬}}}$